تحقیق رایگان سایت فروشگاه علمی اسمان

تحقیق درباره روش نلدرميد

در سال 1965 نلدروميد كارايي روش هكس، اسپندلي، هيمسورف را با تعيين
سيمپلكس هاي بدون قاعده افزايش داده اند.

روش آنها يكي از روشهاي كارآمد معمولي و در دسترس بود كه اگر تعداد متغيرها فراتر از 5 يا 6 نبود به خوبي كار مي كرد. مسئله مينيمم سازي f(x) را در نظر بگيريد. فرض كنيد x1 يك تخمين اوليه از x* باشد. و فرض كنيد رئوس اوليه سيمپلكس  به طوري كه :  كه  بردارهايي كه متناظر و اسكالرهاي  براساس فاصله ممكن كميتهاي  انتخاب مي شوند و يا مي توان

           (A-1)                 

كه در آن  بردارهايي كه متناظر و  است در سيمپلكس كنوني فرض كنيد:      

 يك راس با بيشترين مقدار تابع باشد.

 يك راس با دومين مقدار بعد از بيشترين مقدار تابع باشد.

 يك راس با كمترين مقدار تابع باشد.

 مركز ثقل تمام رئوس به جز راس  باشد. يعني:

همچنين فرض كنيد  و ...

سپس روش پيشنهادي نلدرميد را براي min سازي f(x) به صورت زير توصيه مي كنيم:

1) راس هاي سيمپلكس اوليه را همانطور كه در بالا شرح داده شد انتخاب كنيد و مقدار f(x) را براي هر كدام از آن راس ها مشخص كنيد.

2) بازتاب: بازتاب x_h را با استفاده از عامل بازتاب  تعيين كنيد يعني  را طوري پيدا كنيد كه

 يا

3) اگر  پس  را با  جايگزين كنيد و سپس به مرحله 2 بازگرديد.

4) انبساط: اگر  ، سيمپلكس را با استفاده از عامل بسط  بسط دهيد يعني  را به صورت زير پيدا كنيد. (شكل 3-3)

يا

الف) اگر  باشد  را با  جايگزين كنيد و به مرحله 2 بازگرديد.

ب) اگر  را با  جايگزين كنيد و سپس به مرحله 2 بازگرديد.

5) انقباض: اگر  باشد. سيمپلكس را با استفاده از عامل انقباض  منقبض كنيد. دو حالت در نظر بگيريد:

الف) اگر  (شكل 3. 4) پيدا كنيد  را چنان كه :

ب) اگر  (شكل 3. 5) پيدا كنيد  را چنان كه :

اگر (5 الف) يا (5 ب) به كار برده شود دوباره دو حالت را بررسي مي كنيم:

ج) اگر و  باشد  را با  جايگزين كنيد و به مرحله (2) بازگرديد.

د) اگر  يا  اندازه سيمپلكس را با نصف كردن فاصله از  كاهش دهيد و به مرحله (2) بازگرديد.

نلدر و ميد،  را به ترتيب براي عامل هاي انقباض وانبساط وبازتاب پيشنهاد مي كنند.

يك معيار همگرايي مناسب براي پايان محاسبه وقتي است كه انحراف استاندارد از  كمتر از مقدار مقرر  در نظر گرفته شده باشد يعني هنگامي كه:

كه در آن

باكس و ديويس و سوان معيار مطمئن تري پيشنهاد مي كنند: بدين ترتيب كه S را بعد از هر تعيين مقدار تابع k ، تعيين كنيم كه k مقرر شده است. هنگامي كه دو مقدار متوالي از s كمتر از  شد و مقدارهاي متناظر از  با كمتر از مقدار مقرر شده تفاوت داشت توقف مي كنيم.

2) اكسترمم كلي از يك جستجوي اكسترمم نسبي با شروع هاي احتمالي

بهينه كننده هاي موضعي مي توانند جستجوي كلي را تكميل كنند وقتي كه مكررا از نقاط مختلف شروع شوند. آسان ترين روش شروع، جستجوي با قاعده از نقاط است يا
مي توان نقاط را تصادفي انتخاب كرد. در مورد اول، ما احتياج داريم بدانيم كه براي محاسبه ي اندازه ي شبكه چه تعداد شروع انجام مي شود. در مورد بعدي از اطلاعات ما درباره ي جستجوهاي گذشته استفاده نمي شود. ممكن است اكسترمم هاي نسبي يكساني در چندين دفعه پيدا كنيم كه اين يك تلاش پرهزينه و غير ضروري است. در كاري كه پيش رو داريم تعداد شروع ها از قبل نامعلوم است زيرا اين باعث مي شود تعداد زيادي بررسي هاي تحميلي بر الگوريتم وارد شود و هزينه ي هر جستجوي موضعي نامعلوم است. يك روش شبكه اي نمي تواند در اينجا كاربردي باشد. همچنين فضايي از جستجوهاي موضعي قبل با ايجاد چگالي احتمال ويژه از شروع يك جستجو حفظ مي شود.

2-1) شروع احتمالي:

اين روش مي تواند به عنوان نسخه ي هموار از تكنيك هاي نموداري در نظر گرفته شود، كه نمودارها مي توانند در نقاط نمونه ي انتخاب شده متمركز شوند.

احتمال  به صورت زير نوشته ميشود.

(1)                                                                    

كه N تعداد نقاط نمونه ي قبلي است و  تابع چگالي احتمال چند بعدي نرمال است.

(2)                       

كه n بعد است (تعداد متغيرها) و  ماتريس كوواريانس است.

(3)                                                                                 

واريانس  به وسيله رابطه زير برآورد مي شود.

(4)                                                                           

كه  يك پارامتر مثبت است كه طول گوسي را كنترل مي كند و  و  كران ها درj  امين جهت هستند. به منظور حفظ آساني و كم هزينه بودن روش تا حد امكان واريانس ها ثابت نگه داشته شده اند. اين استراتژي به علت بزرگي تعداد بررسي ها
هزينه اي خواهد داشت.

چگالي احتمال  است اما چون يك دامنه كراندار  بررسي مي شود پس يك احتمال  معرفي مي شود.

(5)                                                         

كه  مي باشد. چگالي احتمال يك نقطه نمونه گيري جديد ، چگالي احتمال يك نمونه قبلي نيست. براي برآورد آن فرض هاي زير را مي پذيريم. فقط بزرگترين نقطه  از  از نمونه ي داده شده در تكرار بعدي احتمال صفر دارد. بنابراين احتمال  به صورت زير محاسبه مي شود:

(6)                                                                        

كه  است.

شكل (1) ،  را در يك دامنه ي دو بعدي تصوير مي كند.

ماكزيمم در ابتدا دقيقا به دست نمي آيد. اولا به خاطر مقدار عددي آن و ثانيا همان طور كه در بخش 301 خواهيم ديد آن براي جستجو زيان آور است در عوض نقاط  به طور تصادفي انتخاب شده و نقطه ي ماكزيمم  براي شروع جستجوي بعدي انتخاب شده است. توجه كنيد كه به منظور ماكزيمم سازي  محاسبه M از(5)وH از(6)لازم نيست چرا كه ماكزيمم  مي نيمم P است بنابراين فقط P محاسبه مي شود.

سه پارامتر بر چگالي احتمال P و در نتيجه بر نقاط شروع تاثير مي گذارند:

1) نقاطي كه براي محاسبه ي احتمال  نگهداري مي شوندP

2) تعداد نقاط تصادفي استفاده شده براي ماكزيمم سازي

3) پارامتر طول گوسي  

آنها در نتايج عددي (بخش 3-1) بحث شده اند. فرآيند شروع احتمالي براي هر بهينه كننده ي موضعي مي تواند كاربردي باشد. در اين مورد الگوريتم نلدرميد بهبود يافته پيشنهاد ميشود.

2-2) جستجوي نلدرميد بهبود يافته :

الگوريتم GBNM از الگوريتم نلدرميد به علت مجموعه اي از انتخاب هاي شروع متفاوت است(ديگر تفاوتها در رابطه با قيدها هستند).

هدف از شروع ها دو چيز است:

اولا: شروع هاي احتمالي روي چگالي P (رابطه 1) پايه گذاري شده است. هدف از تكرار جستجوهاي اكسترمم هاي نسبي رسيدن به يك مقدار كلي ثابت است،  كه به آن رسيده ايم.

اين شكل كلي روش است. در انجام شروع احتمالي رايج اندازه ي سيمپلكس جديد، a (تعريف شده در رابطه ي A-1) ، يك متغير تصادفي يكنواخت به دست آمده بين 2% و 10% از كوچكترين بعد دامنه است.

 ثانيا : شروع‌ها همگرايي الگوريتم را بررسي كرده و بهبود مي‌دهند.   شكل‌هاي دو شروع

   كه همگرا هستند با شروع يك سيمپلكس جديد به بهترين رأس جاري مرتبط هستند. امتحان كوچك و بزرگ بودن شروع‌ها يك سيمپلكس كوچك و بزرگ با اندازه‌هاي به ترتيب a_s وa ، خواهدبود.

همگرايي براي جستجوهاي اكسترمم نسبي نلدرـ ميد از ميان سه معيار زير تعيين مي‌شود. امتحان كوچك، مسطح يا تباهيده بودن سيمپلكس.

سيمپلكس كوچك است اگر :

(7)                       

كه i  امين مولفه از K امين يال،  و  كران‌هاي i امين راستا و  تعيين كننده مجاز است.

سيمپلكس مسطح است اگر:

كه f_H و f_L بزرگترين و كوچكترين توابع هدف در سيمپلكس و مقدار مجاز است.

سيمپلكس تباهيده است اگر : در زير فضايي از دامنه‌ي جستجو ادغام شده باشد. اين رايج‌ترين حالت معمول در روش جستجوي نلدرـ ميد است زيرا روش نمي‌تواند از زيرفضا رها شود، به طور دقيق تر يك سيمپلكس در اينجا تباهيده ناميده مي‌شود اگر آن به اندازه‌اي كوچك باشد كه در تماس با يك متغير كراندار نباشد و يكي از دو شرط زير را برآورده سازد.

(9)                 يا                

كه e^k ، kامين يال است. e ماتريس يال و ||0|| نرم اقليدسي را نمايش مي‌دهد و  و  ثابت‌هاي مثبت كوچك مي‌باشند. ارتباط سه شروع‌ها و سه آزمون همگرايي در الگوريتم GBNM در شكل (2) نمايش داده شده است.

حافظه‌اي همگرايي قبلي تعيين شده را نگه‌داري مي‌كند. كه اين از محاسبه غيرضروري روي نقاط قبلي جلوگيري مي‌كند. (سومين امتحان، T3 در فلورچارت شكل2) هنگامي‌كه سيمپلكس مسطح است يك شروع احتمالي انجام شده است. (T4).

سيمپلكسي كه تباهيده شده است موجب يك امتحان بزرگ تكرار مي‌شود (T₈). هنگامي كه بهينگي از همگرايي روي نقاط نامطمئن است، چنين همگرايي روي متغيري كراندار كه سيمپلكس تباهيده دارد رخ مي‌دهد. (T₆) امتحان كوچكي كه كنترل بهينگي را متوقف مي‌كند انجام مي‌شود.

اگر سيمپلكس كوچك به نقاط همگرايي يكسان برگردد آن نقطه بعنوان بهينه موضعي در نظر گرفته مي‌شود.

اين بايد يادآوري شود كه شرايط كان – تاكر از برنامه‌ريزي رياضي قابل اجرا براي قالب‌هاي ديفرانسيل ناپذير كنوني نيست. تولرانس‌ها براي سيمپلكس‌هاي كوچك و تباهيده يعني و ] ، [ به ترتيب ممكن است به سختي به دست آيند. پس يك سيمپلكس كه كوچك است ممكن است قبلاً  تباهيده باشد، اگر يك تباهيدگي دردو نقطه ي متوالي يكسان

يافت شود نقطه بعنوان يك بهينه ي ممكن گرفته مي شودويك شروع احتمالي ناميده ميشود.متشابها اگر يك تباهيدگي بعد از يك امتحان كوچك رخ دهد اين نقطه نيز بعنوان يك بهينه ي ممكن در نظر گرفته ميشودويك  امتحان بزرگ بايد انجام شود.

3) نتايج عددي

در اين قسمت روش GBNM را با يك الگوريتم ريشه‌گيري (EA) براي يك مسئله مقايسه مي‌كنيم. الگوريتم ريشه‌گيري يك ساختار تدريجي ، رمزگذاري واقعي و تقاطع پيوسته و جهش گوسي با واريانس  دارد. براي بيان جزئيات پارامترهاي EA انتخاب شده هر بررسي آن‌هايي هستند كه در بين صد سه تايي مستقل از ميان همه‌ي تركيبات با اندازه هاي جمعيت (20 يا 50) و احتمال هاي جهش( 15/0 يا /20 و احتمال‌هاي تقاطع( 4 /0 يا 5/0) بهتر عمل مي‌كنند.

3- 1انتخاب پارامترهاي GBNM

3-1-1پارامتر طول گوسي، a:

 در اين كار a مجموعه‌اي با 01/0 كه به معني يك تقسيم استاندارد از روش گوسي كه حدود 20/0 دامنه را پوشانده است مي‌باشد.

3-1-2 نقاط نگهداري شده براي محاسبه احتمالي

سه استراتژي در رابطه با احتمال يافت نشدن حداقل يكي از مي‌نيمم‌هاي موضعي، P_nfm مقايسه شده بودند.

X_iها بكاررفته در رابطه (1) و (2) :

(i)– نقاط شروع

(ii)– نقاط شروع و نقاط همگرايي موضعي

(iii)– همه نقاط نمونه‌اي در طول جستجو مي باشند.

از آزمونهاي مقدماتي نتيجه شده است كه استراتژي (iii) براي تحليل، حافظه و زمان مي‌خواهد، كه نسبت به استراتژي‌هاي (i) و (ii) در سطح پايين تر قرار دارد.

بنابراين دلايل، استراتژي (iii) براي بررسي‌هاي بيشتر در نظر گرفته نمي‌شود.

استراتژي‌هاي (i) و (ii) با Nr متغير از 1 تا 1000 روي سه تابع زير بررسي مي شوند.

F₁(x₁,x₂)=2+0.01(x₂-x₁²)²+(1-x₁)²+2(2-x₂)²+sin(0.5x₁)sin(0.7x₂x₁)

x₁,x₂Î[0,5]

f₂(x₁,x₂)=(4-2.1x₁²+x₁²)x₁²+x₁ x₂+(-4+4x₂²)x²₂

x₁,x₂Î[-3,3]

f₃(x₁,x₂)=(x₂-x₁²+x₁-6)²+10(1-)cos(x₁)+10

x₁Î[-5,10]   ,     x₂Î[0,15]

f₁چهار مينيمم و f₂شش و f₃ سه مي‌نيمم دارد( شكل 3 را ببينيد) . f₂ به عنوان تابع شش كوهانه، f₃ به عنوان تابع "برانينز آركوس" شناخته شده است. براي استراتژي‌هاي اول و دوم نتايج پس از 500 تحليل و بر اساس 100 اجراي مستقل در جدول (1) و (2) به ترتيب نمايش داده شده‌اند. استراتژي دوم بطور مستقل از N_rبهتر عمل مي‌كند . اين نشان مي‌دهد كه نقاط شروع و همگرايي موضعي به اندازه كافي در توپولوژي اساس تكرار جمع‌بندي مي‌شوند اين قالب براي به روز كردن P انتخاب شده است.

3-1-3 تعداد نقاط تصادفي N_r

اگر Nr=1 باشد شروع‌ها تصادفي است. اگر N_r بزرگ باشد نقاط شروع بر اساس نقاط شروع و همگرايي جستجوهاي قبل توزيع مي‌شوند كه يك الگوي هندسي كامل را به وجود مي‌آورد.

اگر Nr يك عدد كوچك بزرگتر از يك باشد شروع‌ها تصادفي اريب هستند. بايد يك سازگاري بين استراتژي‌هاي شبكه‌اي و تصادفي ديده شود. مقدار بهينه ي N_r وابسته به تابع آزمايش است اگر اساس تكرار، توزيع با قاعده باشد شروع‌ها با يك الگوي با قاعده (يعني N_r بزرگ) بهينه هستند و برعكس.

از نتايج آزمايش‌ها در سه تابع چندوجهي ارائه شده در جدول (2) استراتژي بهينه، N_r بزرگ براي f₁ و f₃ است در حاليكه براي f₂ ،N_r=2 مي باشد.

N_r=10 بعنوان يك سازگاري براي تابع بهينه ي كلي انتخاب شده است.

3-2- تابع مي‌نيمم سازي گريوانك

تابع آزمايش مي‌نيمم سازي گريوانك را به صورت زير در نظر بگيريد

(11)                     

x_iÎ[-1000,1000]

كه بعد n=12 و مي‌نيمم كلي برابر 1.0- در X_i=0.0 و n وi=1 .اين تابع چندين مي‌نيمم موضعي دارد شكل (4) آن را در حالت يك بعدي (n=1) و xÎ[-20-20] نشان مي‌دهد جدول (3) GBNM و بهترين نقطه در الگوريتم ريشه‌گيري جمعيت (EA) در 200، 1000، 5000 و 10000 تابع رافراخواني مي‌كند.

جدول (3) صد اجراي مستقل با نقاط شروع GBNM كه به طور تصادفي انتخاب شده‌اند را معدل گيري مي‌كند. معيار زير با فرض اينكه EA به مي‌نيمم كلي همگرا شده است بكار مي‌رود.

(12)                                              

كه x بهترين نقطه يافت شده و x مي‌نيمم كلي است. نتيجه‌ي كلي اين است كه روش GBNM به طور متوسط مقادير تابع هدف بهتر با احتمال يافتن بيشتر مي‌نيمم كلي از آنچه EA انجام مي‌دهد را مي‌يابد. فايده‌ي روش GBNM ذاتاً در تعداد كم بررسي‌ها و رشد پايين مقادير عددي است.

4- نتيجه‌گيري

يك روش بهينه سازي كلي و موضعي بر اساس شروع احتمالي نشان داده شد. جستجوهاي موضعي به وسيله الگوريتم نلدرميد بهبود يافته تعيين مي‌شوند كه متغيرهاي مساله مي توانند كراندار يا با قيدهاي نامساوي داده شده باشند.اين روش جستجوي نلدرميد كراندار يا كلي (GBNM) ناميده مي‌شود كه نياز به حساسيت و ساختار مورد استفاده‌ي كامپيوتر ندارد و بهينه هاي موضعي كه شامل بهينه ي كلي است را با افزايش احتمال كه با افزايش دفعات محاسبه انجام پذير است را تعيين مي‌كند.

تحقیق رایگان سایت پژوهشی و علمی آسمان

تحقیق درباره عدد نپر:

عدد اي (e) يکي از ثابت‌هاي رياضي و پايه لگاريتم طبيعي است. عدد e تا ۲۹ رقم پس از مميز چنين است:

E = 2,71828 713502874235365904518284

پايه لگاريتم طبيعي (~ 2.71828)، اولين بار توسط لئونارد اويلر (Leonhard Euler1707-83) يکي از باهوشترين رياضيدانان تاريخ رياضيات مورد استفاده قرار گرفت. در يکي از دست خطهاي اويلر که ظاهرا" بين سالهاي 1727 و 1728 تهيه شده است با تيتر

Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اويلر از عدي بنام e صحبت مي کند. هر چند او رسما" اين نماد را در سال 1736 در رساله اي بنام Euler's Mechanica معرفي ميکند.

در واقع بايد اعتراف کرد که اويلر کاشف يا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردي بنام جان نپر (John Napier 1550-1617) در اسکاتلند هنگامي که روي لگاريتم بررسي مي کرده است بحث مربوط به پايه طبيعي لگاريتم را به ميان کشيده است. فراموش نکنيد که شواهد نشان ميدهد حتي در قرن هشتم ميلادي هندي ها با محاسبات مربوط به لگاريتم آشنايي داشته اند.

در اينکه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اويلر نمايش داده شده است صحبت هاي بسياري است. برخي e را اختصار exponential مي دانند، برخي آنرا ابتداي اسم اويلر (Euler) مي دانند و برخي نيز ميگويند چون حروف a,b,c و d در رياضيات تا آن زمان به کرات استفاده شده بود، اولر از e براي نمايش اين عدد استفاده کرد. هر دليلي داشت به هر حال امروزه اغلب اين عدد را با نام Euler مي شناسند.

کاربرد عدد نپر :

اويلر هنگامي که روي برخي مسائل مالي در زمينه بهره مرکب در حال کار بود به عدد e علاقه پيدا کرد. در واقع او دريافت که در مباحث بهره مرکب، حد بهره به سمت عددي متناسب (يا مساوي در شرايط خاص) با عدد e ميل ميکند. بعنوان مثال اگر شما 1 ميليون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مرکب و مداوم سرمايه گذاري کنيد در پايان سال به رقمي حدود 2.71828 ميلون تومان خواهيد رسيد.

در واقع در رابطه بهره مرکب داريم :  

که در آن P مقدار نهايي سرمايه و بهره است، C مقدار اوليه سرمايه گذاري شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتي است که در سال به سرمايه بهره تعلق مي گيرد و t تعداد سالهايي است که سرمايه گذاري مي شود.

در اين رابطه اگر n به سمت بي نهايت ميل کند - حالت بهره مرکب - فرمول را مي توان بصورت زير ساده کرد :

اويلر همچنين براي محاسبه عدد e سري زير را پيشنهاد داد :

لازم است ذکر شود که اويلر علاقه زيادي به استفاده از نمادهاي رياضي داشت و رياضيات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردي مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسياري ديگر نمادها مديون بدعت هاي اويلر است.

مي خواهيم ثابت کنيم که e=(1+1/n)ⁿ گنگ است:

طبق بسط دو جمله اي نيوتن:                              

e=(1+1/n)ⁿ=1+1/1!+1/2!+1/3!+…+1/n!+1/(n+1)!+…

n!e=[(n!)+(n!/1!)+(n!/2!)+(n!/3!)+…+(n!/n!)]+(n!/(n+1)!)+…

که عبارت داخل کروشه يک عدد صحيح است که آن را q_n مي ناميم.حال فرض مي کنيم که e گويا و برابر باa/b باشد داريم:

n!a=bq_n+b[(n!/(n+1)!)+(n!/(n+2)!)+…]

عدد صحيح و مثبت r_n را بدين صورت داريم:

R_n=n!a-bq_n=b[(1/(n+1))+(1/(n+1)(n+2))+(1/(n+1)(n+2)(n+3))+…]

R_n=b/(n+1)+b[(1/(n+1)(n+2))+(1/(n+1)(n+2)(n+3))+…]

و اگر در عبارت کروشه از مخرج فقط دو عامل را نگاه داريم:

R_n

R_n

=>r_n r_n<2b/(n+1)

پس به ازاي n>2b-1، r_n کوچکتر از 1 مي شود و اين با فرض متناقض است پس حکم گنگ بودن e ثابت است.

چكيده:

اصل لانه كبوتر بسيار روشن است و بسيار ساده به نظر مي‌رسد، گويي داراي اهميت زيادي نيست، ولي در عمل اين اصل داراي اهميت و قدرت بسيار زيادي است، زيرا تعميمهاي آن حاوي نتايجي عميق در نظريه تركيباتي و نظريه اعداد است. وقتي مي‌گوئيم در هر گروه سه نفري از مردم حداقل دو نفر، هم جنس‌اند در واقع اصل لانه كبوتر را به كار گرفته‌ايم. فرض كنيم به تازگي در دانشكده‌اي، يك گروه علوم كامپيوتر تاسيس يافته كه براي 10 عضو هيئت علمي آن فقط 9 دفتر‌كار موجود باشد. آن‌گاه باز هم ايده نهايي در پشت اين ادعاي بديهي كه حداقل از يك دفتر‌كار بيشتر از يك نفر است استفاده مي‌كنند، اصل لانه كبوتر است. اگر به جاي 10 نفر 19 عضو هيئت علمي وجود داشته باشد، آن‌گاه حداقل از يك دفتر‌كار بيشتر از دو نفر استفاده مي‌كنند. همين‌طور، اگر در دانشكده‌اي حداقل 367 دانشجو وجود داشته باشند، باز آشكار است S حداقل دو نفر از آنها روز تولدشان يكي است. مي‌گويند كه سرانسان داراي حداكثر 999 و 99 تار مو است. از اين رو در شهري S جمعيت آن بيشتر از 4 ميليون باشد، حداقل 41 نفر وجود دارند كه تعداد موهاي سرشان يكي است (سر طاس مو ندارد). مثالهاي زيادي نظير اين را مي‌توانيم نقل كنيم.

ايده اساسي حاكم بر همه‌ي اين موارد حقيقت ساده‌اي مشهور به اصل لانه‌كبوتر دير بلكه است.

كه عبارت است از:

فرض كنيد ‌k و n دو عدد طبيعي‌اند. اگر بخواهيم بيشتر از nk+1 شي را در n جعبه قرار دهيم، حداقل يك جعبه وجود دارد كه در آن حداقل k+1 شي قرار گرفته باشد. در حالت خاص، اگر حداقل n+1 شي را در n جعبه قرار دهيم، جعبه‌اي وجود دارد كه در آن حداقل دو شي قرار گرفته باشد.

1.    هفده نفر در جلسه‌اي حضور دارند. آنها درباره سه موضوع بحث مي‌كنند، هر دو نفر آنها درباره يك و فقط يك موضوع بحث مي‌كنند. ثابت كنيد يك گروه حداقل سه نفري وجود دارد كه افراد آن با هم راجع به يك موضوع بحث كرده باشند.

حل: مي‌توانيم 17 نفر را 17 نقطه در نظر بگيريم كه هر دوتايي به توسط يك بال به هم وصل شده‌اند. بالي را كه X و Y را به هم متصل مي‌كند، آبي مي‌كنيم اگر آن دو درباره موضوع (1) بحث كرده باشند و قرمز مي‌كنيم اگر راجع به موضوع (2) بحث كرده باشند و به رنگ زرد در مي‌آوريم. اگر آن دو درباره موضوع (3) با هم به بحث پرداخته باشند. بنابراين هر كدام از 16 بالي كه از A گذشته‌اند با يكي از سه‌رنگ آبي،‌ قرمز يا زرد رنگ شده است. از آن‌جايي كه 1+3×5=16، طبق اصل لانه كبوتري حداقل 1+5 رأس يافت مي‌شود، كه با يك رنگ به A متصل شده باشند. بدون اينكه به كليت مساله لطمه بخورد فرض مي‌‌‌كنيم يال‌‌هاي AG,AF,AE,AD,AC,AB با رنگ آبي، رنگ‌آميزي شده باشند. حال 6 رأس G,F,E,D,C,B را در نظر بگيريد كه با 15 يال به هم متصل شده‌اند. اگر هر كدام از اين يال‌ها (مثلاً BC) به رنگ آبي باشد. آن‌گاه اين يال‌ها با رنگ‌هاي قرمز يا زرد خواهيم داشت. و اين به اين معني است كه حداقل سه نفر وجود دارند كه با هم راجع به يك موضوع بحث كرده باشند.

2.   فرض كنيم {n2 و ...و 3و2و1}=X و فرض نمائيم S زير مجموعه‌اي (1+n) عنصري از x باشد. آن‌گاه حداقل دو عدد در S وجود دارند به طوري كه يكي ديگري را مي‌شمارد.

اثبات: هر عدد دلخواه r متعلق به S را مي‌توان به صورتS .2^t= r نمايش داد كه در آن،T يك عدد صحيح نامنفي و S عدد فرد متعلق به X، به نام قسمت فرد (r) است. براي S حداكثر n انتخاب وجود دارد، زيرا n عدد فرد در X وجود دارد. اين n قسمت فرد را مي‌توان به عنوان n لانه كبوتر در نظر گرفت كه قرار است (1+n) عدد متعلق به S را بين اين لانه‌ها پخش كنيم. به عبارت ديگر، دو عدد مانند x و y در s وجود دارند كه قسمت فرد آنها يكي است. فرض كنيم s.2^t=x و.2^u.s=y آن‌گاه يا x عدد y را مي‌شمارد يا برعكس.

3.  اكبر در طول تعطيل چهار‌هفته‌اي خود هر روز حداقل يك دور تنيس بازي مي‌كند. ولي در طي اين مدت جمعاً بيش از 40 دور بازي نخواهد كرد. ثابت كنيد كه توزيع دفعات دورهاي بازي او در طي چهارهفته هر چه باشد، تعدادي از روزهاي متوالي وجود دارد كه طي آنها دقيقاً 15 دور بازي مي‌كند؟

حل:

براي ، فرض كنيد x_i، تعداد كل دورهايي باشد كه اكبر از آغاز تعطيلات تا پايان روز I بازي كرده است. پس:

  و 

اينك 28 عدد متمايز x₁و x₂ و... و x₂₈ عدد متمايز 15+x₁ ،15+x₂ ،....،15+x₂₈ داريم.

اين 56 عدد مي‌توانند تنها 55 مقدار مختلف اختيار كنند، بنابراين حداقل دو تا از آنها بايد مساوي بوده و نتيجه مي‌گيريم كه رابطه  باشرط 15+x=x_i وجود دارد. لذا از شروع (1+j)ام تا آخر روز I اكبر دقيقاً‌ 15 دور بازي خواهد كرد.

4.   كيسه‌اي حاوي دقيقاً 5 مهره قرمز،8 مهره آبي، 10 مهره سفيد و 12 مهره سبز و 7 مهره زرد است. مطلوب است تعيين تعداد مهره‌هايي كه بايد انتخاب شوند تا مطمئن شويم كه:

الف)‌ حداقل 4 مهره همرنگ‌اند

ب) حداقل 7 مهره همرنگ‌اند

پ) حداقل 6 مهره همرنگ‌اند

ت) حداقل 9 مهره همرنگ‌اند

حل:

 5 رنگ داخل كيسه وجود دارد. لذا 5 لانه كبوتر داريم:

ج الف) 16

ب) 30=1+4×6+5

پ) 26=1+4×5+5

ت) 37=1+2×8+7+8+5

5.   10 عدد طبيعي متمايز و كوچكتر از 107 مفروضند. نشان دهيد كه دو زيرمجموعه مجزا و غيرخالي اين 10 عدد يافت مي‌شود S مجموع اعضايشان يكسان است.

حل:

بزرگترين 10 عددي كه مي‌توانيم داشته باشيم 97، 98،....106 هستند كه مجموع آنها 1015 هست. بنابراين كافي است 1015 لانه كبوتر با شماره‌هاي 1 و2 و ...و 1015 را در نظر بگيريم. هر مجموعه 10 عضو شامل 1023=1-2¹⁰ زير‌مجموعه زيرتهي است، كه 1023 را تعداد كبوترها در نظر مي‌گيريم. لذا بنا به اصل لانه كبوتري، حداقل 2 زيرمجموعه با مجموع يكسان وجود دارند. اعداد متناظر را از 2 مجموعه حذف مي‌كنيم.

6.   فرض كنيم  فرد باشد. ثابت كنيد كه عدد صحيح مثبتي مانند n وجود دارد به طوري كه m عدد 1-2ⁿ را عادي مي‌كند؟

حل: 1+m عد صحيح مثبت 1-2¹، 1-2²، 1-2³، ....، 1-2^m، 1-2^m+1 را در نظر مي‌گيريم.

بنابراين اصل لانه كبوتر و الگوريتم تقسيم، اعدادي مانند  وجود دارند به طوري كه   

9= تعداد روز چهارم + روز پنجم

لذا حداقل دنباله‌اي از دو روز متوالي چهارم و پنجم يافت شد كه مجموع ساعاتي كه دونده در آنها دويده 9 ساعت شود.

7.   فرض كنيد{a₅ و .....a₂وa₁}=A مجموعه‌اي از 5 عدد صحيح و مثبت باشد. نشان دهيد كه براي هر جايگشت مانند{a_i5 و...وa_i1}=B از مجموعه A حاصل ضرب

(a_i1-a₁) (a_i2-a₂)…(a_i5-a₅)

عددي زوج است.

حل:

 ضرب n عدد زوج است، هرگاه حداقل يكي از اعداد زوج باشد، بنابراين يكي از (a_ij-a_j) عدد زوج است. يعني a_j و a_ij يا هردو زوج‌اند و يا هردو فردند. طبق اصل لانه كبوتري، حداقل 3 عضو از مجموعه A داراي زوجيت يكسان هستند.

به عنوان مثال، a₁ و a₂ و a₃ از مجموعه A را در نظر مي‌گيريم كه هر سه فردند يا زوج. لذا روشن است كه Q{a₁₃ و a₁₂ و a₁₁}  {a₃ و a₂ و a₁} (زيرا مجموعه A بايست حداقل داراي 6 عضو {a₁₃,a₁₂,a_li,a₃,a₂,a₁} باشد). به عبارتي ديگر مجموعه {a₁,a₂,a₃,a₁₁,a₁₂,a₁₃}=c حداقل دو عضو برابر دارد. فرض كنيد a₁₁= a₃. بنابراين a₁-a₃=a₁-a₁₁ در نتيجه a₁-a₁₁ عددي زوج است.

8.  براي تمام اعداد طبيعي  و p ثابت كنيد R+ R  (p,q)R .

اثبات:

 فرض كنيم . طبق قضيه رمزي (براي تمام اعداد طبيعي2 q و p، عدد R(p.q) با شرط ذكر شده، وجود دارد.) و براي اثبات قضيه كافي است كه نشان دهيم كه اگر دسته نقطه‌ي nتايي را با دو رنگ قرمز و آبي رنگ كنيم، آن‌گاه يك دسته‌ي نقطه‌اي pتايي با يك دسته نقطه‌ي qتايي قرمز وجود دارد. سه نقطه‌‌ي nتايي را با k_n نشان مي‌دهيم.

يك رأس ثابت V در K_nرا در نظر بگيريد. از v، 1-n يال در k_n عبور كرده است:

طبق تعميم يافته اصل لانه كبوتري R(P-1,q) يال گذرنده از v وجود دارد كه با آبي رنگ شده‌اند يا R(P,q-1) گذرنده v وجود دارند كه با قرمز رنگ شده‌اند. فرض مي‌كنيم حالت اول درست باشد. فرض كنيد x مجموعه نقاطي باشد كه اين R(P,q-1) به v وصل شده‌اند. از آن‌جا كه  طبق تعريف مجموعه‌ي x شامل يك دسته‌ي نقطه (p-1)تايي آبي باشد، آن‌گاه مجموعه {v} x يك دسته نقطه qتايي آبي است.

9.   6 مهره قرمز، 5 مهره سفيد و 7 مهره آبي در يك كيسه داريم. مطلوب است تعيين كمترين تعداد  مهره‌هايي كه بايد انتخاب شوند تا مطمئن شويم S حداقل 3 مهره قرمز يا حداقل 4 مهره سفيد يا حداقل 5 مهره آبي انتخاب شده است؟

حل:

 اگر x و y و z به ترتيب تعداد مهره‌هايي به رنگ قرمز و سفيد و آبي باشند كه بناست انتخاب شوند، آن‌گاه اگر x=2 و y=3 و z=4، آن‌گاه جواب 9 است، بنابراين وضعيت مطلوب پيش نمي‌آيد بدين‌سان بايد حداقل 10 مهره انتخاب كنيم. (پاسخ 10 مهره)

كه نتيجه مي‌دهد:

پس مي‌توان B را برابر {a_j و ...a_i-2 وa_ih} در نظر گرفت.

10.هر دنباله مركب از (n²+1) عدد صحيح متمايز شامل زير دنباله‌اي با حداقل (n+1) جمله است كه يا دنباله‌‌‌اي افزايشي است يا دنباله‌اي كاهشي.

اثبات: فرض كنيم دنباله مورد بحث a_i(I=1,2,…,n²+1) باشد فرض كنيم t_i عبارت باشد از تعداد جمله‌هاي واقع در طولاني‌ترين زير دنباله افزايشي كه با a_i شروع مي‌شود. اگر به ازاي iاي داشته باشيم t_i=n+1 آن‌گاه كار تمام است. فرض كنيم كه به ازاي هر I داشته باشيم . قرار مي‌دهيم {j=t_i:a_i}= H_Jكه در آن n و ...2و1 = j . بدين‌سان n لانه كبوتر H₁ و H₂ و...H_n را داريم S بناست (n²+1) عدد t_iرا بين آنها پخش كنيم. از اين رو بنابر اصل لانه‌ي كبوتر تعميم يافته، لانه‌اي مانند H_rشامل بيش از kتا از اين اعداد كه در آن k مقدار گردشده نقصاني  است، وجود دارد.

بنابراين حداقل (n+1) تا از اعداد t_i با هم برابرند. اينك اين را ثابت مي‌كنيم كه (n+1) عدد واقع در دنباله مفروض كه متناظر با اين اعداد واقع در لانه H_rاند دنباله‌اي كاهشي تشكيل مي‌دهند. فرض كنيم  در H_rباشند يا  يا  زيرا عناصر مورد بحث متمايزند. فرض كنيم . حال ، مستلزم اين است كه زير دنباله‌اي به طول r وجود داشته باشد كه با a_j شروع شود. از اين‌رو،  نتيجه مي‌گيريم كه زير دنباله‌اي به طول (Rh) وجود دارد كه با a_i شروع مي‌شود. اين يك تناقص است زيرا با توجه به اينكه a_i عنصري از H_rاست نمي‌توان زير دنباله‌اي به طول (r+1) داشت كه با a_i شروع شود. بدين‌سان وقتي  بايد . از اين رو، هر (n+1) عنصر دلخواه در H_r زير دنباله‌اي اكيداً كاهشي بدست خواهد داد.

منابع

1.    اصول و فنون تركيبات          مترجمين: حسين ربيعي

                                                       حسين غفاري

2.   رياضيات گسسته و تركيباتي              رالف.پ.گريمالدي

                                          ترجمه: دكتر محمد‌علي رضواني

                                                   دكتر بيژن شمس

3.  رياضيات گسسته مقدماتي     ترجمه: دكتر بيژن شمس

                                                    دكتر محمد‌علي رضواني

                                          تأليف: و.ئ.بالاكريشنمان

4.   رياضيات گسسته و تركيباتي از ديدگاه كاربردي (جلد اول)     رالف گريمالدي

                                                                                  ترجمه: علي عميدي

فهرست

چكيده

حل مسائل متنوع

منابع

 تحقیق رایگان سایت فروشگاه علمی اسمان

معرفی کامل رشته ریاضی

الف) تعريف برخي از واژه ها و اصطلاحات رشته ریاضی

1 . گروه آزمايشي

بر اساس تقسيم بنديهاي انجام شده ، مجموعة رشته هاي مختلف تحصيلات دانشگاهي، بر حسب مواد امتحاني آزمون سراسري كه توسط سازمان سنجش آموزش كشور انجام مي پذيرد ، به چهار گروه آزمايشي : (1) علوم رياضي و فني  (2)  علوم تجربي  (3) علوم انساني (4) هنر تقسيم مي شود.

2 . رشته

رشته ، زير مجموعه اي از يك گروه آزمايشي است كه دانشجويان پذيرفته شده در آن ، در يك موضوع خاص‏ علمي كه متمايز از ساير موضوعهاست ، به تحصيل پرداخته و با توجه به مقطع تحصيلي مربوط ، كارآيي و مهارت لازم را در آن موضوع كسب مي نمايند ؛ نظير رشته هاي : كامپيوتر و كتابداري .

در آزمون سراسري ، هر شته با كدي خاص از ساير رشته ها متمايز مي گردد .

3 . گرايش

رشته هاي مختلف علمي ، در نهايت به تخصصهاي فرعي تر به نام گرايش منتهي مي شوند . اين تقسيم بندي در پاره اي از رشته ها در مقطع كارشناسي ( نظير رشته كامپيوتر ، گرايش نرم افزار و يا رشته برق ، گرايش الكترونيك ) و در پاره اي ديگر ، در مقطعهاي تحصيلي بالاتر مانند كارشناسي ارشد ( نظير رشتة فيزيك ، گرايش نجوم) صورت مي گيرد.

4 . دانشگاه

به مجموعه اي از واحدهاي علمي و آموزشي گفته مي شود كه در شاخه ها و رشته هاي خاصي از علوم فعاليت داشته ، با مديريت واحد و برابر ضوابط خاص وزارت فرهنگ و آموزش عالي يا وزارت بهداشت و درمان و آموزش پزشكي اداره شوند.

دانشگاههايي كه فعاليت خود را در يك گروه آزمايشي خاص متمركز كرده اند ، دانشگاه تخصصي (نظير دانشگاه صنعتي شريف ) و ساير دانشگاهها كه در گروههاي آزمايشي مختلف فعاليت دارند ، دانشگاه جامع ( نظير دانشگاه تهران ) ناميده مي شوند. وظايف دانشگاه عبارت است از : تربيت نيروي متخصص ، نشر و اشاعه علوم ، گسترش مرزهاي دانش و . . .

5 . دانشكده

به واحدي از يك دانشگاه كه در تعدادي از رشته هاي خاص علمي مرتبط با هم فعاليت دارد دانشكده گفته مي شود ؛ نظير : دانشكدة علوم تربيتي و دانشكدة كشاورزي . دانشكده ها همان وظيفه دانشگاه را در سطحي محدودتر به عهده دارند.

6 . گروه آموزشي

هر دانشكده به واحدهاي كوچكتري به نام گروه آموزشي تقسيم مي شود . گروه ، مسئووليت فعاليت در يك رشته خاص يا چند رشته متجانس را بر عهده دارد: نظير : گروه زبان و ادبيات فارسي ، گروه حسابداري و گروه آبياري  .

7 . دوره ( مقطع تحصيلي ) رشته ریاضی

دوره يا مقطع تحصيلي ، نشان دهندة ميزان و تعداد درسها ، نوع مدرك اعطايي در پايان تحصيل و طول مدت تحصيل در يك رشته خاص است ؛ مانند : دوره ها يا مقطعهاي تحصيلي كارداني ( فوق ديپلم ) ، كارشناسي ( ليسانس ) ، كارشناسي ارشد ( فوق ليسانس ) ، دكتراي حرفه اي و دكتراي تخصصي .

ب ) نظام آموزشي دانشگاهها

نظام آموزشي حاكم بر تمام دانشگاههاي كشور ، نظام واحدي است كه در آن ، ارزش هر درس با توجه به سرفصل و حجم مطالب آن و نيز تعداد واحد اختصاص داده شده به آن درس ، سنجيده مي شود .

هر سال تحصيلي ، شامل دو نيمسال ( و در پاره اي موارد يك دوره تابستاني ) است كه در پايان هر يك ، درسهاي انتخاب شده از سوي دانشجو در آن نيمسال ( يادواره تابستاني ) ، ارزيابي مي گردد . در صورتي كه دانشجو نتواند در يك درس نمره قبولي بياورد ، ملزم به گذراندن مجدد همان درس خواهد بود . طول هر نيمسال 17 هفته و هر دوره تابستاني ، 6 هفته آموزشي ( بدون احتساب مدت امتحانات ) است.

طبق مصوبات شوراي عالي برنامه ريزي ، هر واحد درس ، مقدار يا ميزان درسي است كه مفاد آن در طول يك نيمسال تحصيلي ( و يا دوره تابستاني ) به صورت 17 ساعت نظري ، يا 34 ساعت آزمايشگاهي ( عملي ) ، يا 51 ساعت كارگاهي ( عملياتي ميداني ) و يا 68  ساعت كارآموزي و كارورزي ( كار در عرصه ) تدريس مي شود .

ج ) انواع دانشگاهها

د ريك تقسيم بندي كلي ،‌مجموعه دانشگاههاي كشور به سه نوع تقسيم مي شوند : دانشگاههاي دولتي ، دانشگاههاي غير انتفاعي و غير دولتي و دانشگاههاي آزاد اسلامي ( مراكز تربيت معلم وابسته به وزارت آموزش و پرورش ، جداي از اين تقسيم بندي است ) .

آموزش در دوره هاي روزانه دانشگاههاي دولتي به صورت رايگان و در دوره هاي شبانه دانشگاههاي دولتي و همچنين در دانشگاههاي آزاد اسلامي و غير انتفاعي و غير دولتي با پرداخت شهريه ، امكان پذير است .

د ) شرايط ثبت نام در يك گروه آزمايشي ( در آزمون سراسري )

داوطلبان مي توانند در امتحانات سراسري دانشگاهها كه توسط سازمان سنجش آموزش كشور برگزار مي گردد ، بدون توجه به نوع گواهينامه دوره متوسطه خود ، فقط در يكي از چهار گروه آزمايشي ثبت نام و شركت نمايند .

هـ ) شرايط ورود و نام نويسي در دانشگاهها ( دولتي ،‌ غير انتفاعي و غير دولتي )

براي ورود و ثبت نام در دانشگاههاي دولتي و دانشگاههاي غير انتفاعي و غير دولتي لازم است داوطلبان ، داراي شرايط عمومي و اختصاصي مربوط باشند كه از آن جمله مي توان به داشتن گواهينامه پايان دوره متوسطه ( مورد تاييد آموزش و پرورش از داخل يا خارج كشور ) و يا معادل آن براي آموزشهاي حوزوي ( مطابق مصوبات شوراي عالي انقلاب فرهنگي ) براي ورود به دوره هاي كارداني و كارشناسي پيوسته ، كارشناسي ارشد پيوسته و دكتراي حرفه اي و همچنين داشتن گواهينامه دوره كارداني ( مورد تاييد از سوي وزارت فرهنگ و آموزش عالي و وزارت بهداشت ، درمان و آموزش پزشكي ) براي ورود به دوره هاي كارشناسي ناپيوسته اشاره كرد.

دانشجو نمي تواند به صورت همزمان در بيش از يك رشته و يا در هر رشته در بيش از يك گرايش در يك يا چند دانشگاه ، نام نويسي كند وادامه تحصيل دهد . در صورت تخلف ، بر اساس تشخيص كميسيون موارد خاص وزارت دانشجو از ادامه تحصيل در غير از يك رشته ، محروم و موظف به پرداخت كليه هزينه هاي مربوط به رشته يا رشته هاي حذف شده مي شود . ضمنا دانشجويان ممتاز ( استعدادهاي درخشان ) مشمول مقررات خاص خود هستند .

و ) شرايط و ضوابط خاص دوره هاي شبانه دانشگاهها و موسسات آموزش عالي دولتي

اگر چه شرايط عمومي و اختصاصي براي داوطلبان شركت در دوره هاي شبانه ، مشابه دوره هاي روزانه لازم است داوطلبان به پاره اي از تفاوتها از جمله موارد زير ، توجه كامل داشته باشند :

1- كلاسهاي اين دوره ها معمولا از ساعت 3 و 4 بعدازظهر به بعد تشكيل مي شود .

2- دانشگاهها به هيچ وجه امكاناتي نظير خوابگاه ، وام تحصيلي ، تغذيه ، لوازم كمك آموزشي و همچنين ساير امور رفاهي ، در اختيار دانشجويان اين دوره ها قرار نخواهند داد .

3- در مدرك تحصيلي اين گونه دانشجويان ، كلمه ((شبانه )) قيد مي گردد .

4- در دوره هاي شبانه ، دانشجو موظف به پرداخت شهريه است . اين شهريه شامل دو قسمت: شهريه ثابت براي هر نيمسال تحصيلي و شهريه متغير به ازاي هر واحد درسي است كه در طول دوران تحصيل بتدريج و به تناسب از دانشجو دريافت مي شود . ميزان شهريه ثابت و متغيير ، همه ساله تعيين و اعلام مي گردد كه داوطلبان مي توانند حدود هزينه هاي مربوط به كل دوره و حدود مبلغ پرداختي براي هر نيمسال تحصيلي را برآورد نمايند .

ز) شرايط و ضوابط خاص رشته هاي تحصيلي موسسات آموزش عالي غير انتفاعي و غير دولتي نوع اول

در اين موسسات كه مشمول آيين نامه هاي آموزشي موسسات آموزش عالي دولتي هستند ، شرايط عمومي و اختصاصي لازم براي دانشگاههاي دولتي نيز نافذ است با اختلاف مختصري ، از جمله آن كه به تناسب رشته ، مقطع تحصيلي و موسسه همه ساله توسط مسئوولان آموزش عالي كشور شهريه اي تعيين ودريافت مي شود.

ح ) شرايط و ضوابط خاص تحصيل در دانشگاه آزاد اسلامي

پاره اي مقررات در دانشگاههاي آزاد اسلامي و گاه در يك واحد خاص از آن ، با مقررات موجود در موسسات آموزش عالي دولتي متفاوت است كه مهمترين آنها عبارت است از : ضرورت پرداخت شهريه هاي ثابت و متغير دانشجو كه ميزان اين شهريه ، همه ساله توسط مسئوولان اعلام مي گردد .

ط ) عنوان پاره اي از رشته هاي مختلف در گروه آزمايشي علوم رياضي و فني

در اين قسمت ، عنوان مهمترين رشته تحصيلي در گروه آزمايشي علوم رياضي و فني به همراه مقطع تحصيلي مربوطه به نقل از دفترچه راهنماي شماره 1 آزمون سراسري سال 1377  سازمان سنجش و آموزش كشور آورده شده است تا دانش آموزان و داوطلبان گرامي با اطلاع از آن و بررسي بيشتر در مورد كم و كيف رشته ها ، بتوانند با نگرشي عميق در اين زمينه تصميم گيري نمايند .

رشته تحصيلي گروه آزمايشي علوم رياضي و فني ( گروه آزمايشي 1 ) :

مهندس برق ( الكترونيك ، قدرت ، مخابرات ، كنترل ) ، مهندسي پزشكي ،‌مهندسي پزشكي ( باليني – بيوالكتريك ) ، مهندسي برق ( جنگ الكترونيك ) ، دبير فني برق ( الكترونيك . قدرت ) مهندسي الكترونيك و مخابرات دريايي ، كاردان فني برق ( الكترونيك ، قدرت و مخابرات ) ، معلم فني برق ( الكترونيك ، قدرت ) كارداني علمي كاربردي برق – الكترونيك و ابزار دقيق كارداني علمي – كاربردي برق ( قدرت ) كارداني تكنولوژي هسته اي ، مهندسي پليمر – صنايع پليمر ، مهندسي پليمر – تكنولوژي و علوم رنگ ، مهندسي دريا – كشتي سازي ، مهندسي دريا – مهندسي كشتي ، مهندسي دريا – دريانوردي ، كارداني دريانوردي ، كاردان فني كشتي ، مهندسي شيمي صنايع پليمر – صنايع پتروشيمي – صنايع شيميايي معدني – صنايع گاز – صنايع غذايي ، طراحي و فرايندهاي صنايع نفت – بهره برداري از منابع نفت ، كارشناسي طراحي و مهندسي پتروشيمي ، مهندسي شيمي – شيميايي سلولزي ، كاردان فني شيمي – عمليات پالايش ، كاردان فني شيمي – عمليات پتروشيمي ، كارداني فني شيمي – صنايع شيميايي ، معلم فني صنايع شيميايي ، كاردان فني شيمي – صنايع قند ، كاردان فني صنايع غذايي – توليد صنعتي ، مهندسي صنايع – تكنولوژي صنعتي ، مهندسي صنايع برنامه ريزي و تحليل سيستمها ، كارشناسي ايمني صنعتي ، كاردان فني صنايع – ايمني صنعتي ، معلم فني صنايع چوب ، كاردان فني صنايع چوب ، مهندسي عمران – نقشه برداري ، مهندسي عمران – آب ، مهندسي بهره برداري راه آهن ، مهندسي خط و ابنيه راه آهن ، مهندسي جريه راه آهن ، دبير فني عمران ، تربيت دبير فني عمران – دبير فني عمران – ساختمان . كاردان فني عمران – روسازي راه ، كاردان فني عمران – زير سازي راه – كارداني راه داري ، كارداني ماشين الات كارداني حمل و نقل ، كارداني فني عمران – پل سازي و ابنيه فني ، كاردان فني عمران – نقشه برداري ، كاردان فني عمران – كارتوگرافي ، كارداني فني عمران ، فتوگرامتري ، كاردان فني عمران – ساختمانهاي بتني ، كاردان فني عمران – عمران روستايي ، كاردان فني عمران – پل سازي و ابنيه فني ، كاردان فني عمران – نقشه برداري ، كاردان فني عمران – كارتوگرافي ، كارداني فني عمران – فتوگرامتري ، كاردان فني عمران – ساختمانهاي بتني ، كاردان فني عمران – عمران روستايي . كاردان فني عمران – كارهاي عمومي ساختمان . كاردان فني عمران – آب كارداني علمي كاربردي عمران – ساختمانهاي بتني آبي ، كارداني علمي كاربردي عمران – آب و فاضلاب ، كاردان فني عمران – بهره برداري از منابع آب ، كاردان فني عمران – آب شناسي ، كاردان فني عمران – راه سازي ، كاردان فني عمران – تاسيسات حرارت نيروگاه ، معلم فني عمران – كارهاي عمومي ساختمان ، مهندسي كامپيوتر ( سخت افزار و نرم افزار ) ، مهندسي معدن – اكتشافات معدن ، مهندسي معدن ، استخراج معدن ، كارداني فني معدن – استخراج معادن زغال سنگ ، كارداني معدن ، كاردان فني حفاري ، مهندسي مكانيك – مكانيك در طراحي جامدات ، مهندسي مكانيك – مكانيك در حرارت و سيالات ، مهندسي مكانيك – ساخت و توليد ، دبير فني مكانيك – ساخت و توليد ، مهندسي علمي – كاربردي مكانيك ، مهندسي علمي – كاربردي مكانيك نيروگاه ، دبيرفني مكانيك – مكانيك در طراحي جامدات ، دبير فني مكانيك – مكانيك در حرارت) و سيالات ، دبير فني مكانيك – اتومكانيك – تاسيسات بهداشتي و گازرساني ، كاردان فني مكانيك – نقشه كشي صنعتي ، كاردان فني مكانيك – صنايع اتومبيل ، كارداني تكنيك خودروهاي نظامي ، كاردان فني مكانيك – تاسيسات حرارتي نيروگاهها ، كاردان فني مكانيك – تاسيسات آب رساني و گازرساني ، كارداني تكنيك خودروهاي نظامي ، كارداني فني مكانيك ، تاسيسات تهويه وتبريد ، معلم فني مكانيك – تاسيسات تهويه و تبريد ، كاردان فني مكانيك – ماشين الات ، كاردان فني مكانيك – ماشين ابزار ، كاردان فني مكانيك – ماشينهاي ابزار ، كاردان فني مكانيك – ابزار سازي ، كارداني تسليحات  كاردان فني مكانيك – تاسيسات ، كارداني علمي و كاربردي مكانيك – تعميرگاه نيروگاه ، كارداني فني خوردگي ، كارداني علمي كاربردي تكنسين حرفه اي ( جوشكاري ، ريخته گري ، نقشه كشي صنعتي ، ماشين افزار ، تعميرات مكانيكي ، الكترونيك آنالوگ ، برق صنعتي ، كنترل صنعتي ) كارداني علمي – كاربردي ( برق مترو – ايمني و حفاظت مترو – خط و ابنيه ) ، معلم فني مكانيك – ماشين ابزار ، معلم فني مكانيك – صنايع اتومبيل ، كارداني علمي – كاربردي صنايع چاپ ، كارداي علمي – كاربردي خمير كاغذ ، مهندسي مواد ( گرايشهاي متالوروژي صنعتي ، سراميك ) ، كارداني فني مواد – ريخته گري ، كاردان فني مواد – سراميك ، معلم فني مواد – ريخته گري . كاردان فني مواد سراميك ، معلم فني مواد – ريخته گري ، معلم فني ريخته گري – سراميك ، مهندسي نساجي – تكنولوژي نساجي ، مهندسي نساجي – شيمي نساجي و علوم الياف ، كاردان فني نساجي – نساجي ، كاردان فني نساجي – شيمي نساجي ( رنگرزي ) ، مهندسي هوا و فضا ، مهندسي نگه داري هواپيما، هوانوردي ( خلباني – مراقبت پرواز – تعمير و نگه داري هواپيما – ناوبري هواي)، مهندسي تكنولوژي فرماندهي و كنترل هوايي ( كنترل شكاري ، عمليات موشكي . اطلاعات عملياتي ) ، الكترونيك هواپيمايي ، مخابرات هواپيمايي ، مراقبت پرواز ، تعمير و نگه داري هواپيما ، معماري ، كارداني معماري ، معلم فني معماري ، دبيري رياضي . رياضي ( شاخه هاي محض و كاربردي ) دبيري فيزيك . فيزيك آمار ، كارداني آمار ، كاربرد كامپيوتر ، شيمي ( شاه هاي محض و كربردي ) ، علوم اقتصادي – شاخه اقتصاد نظري ، اقتصاد حمل و نقل ، اقتصاد صنعتي ، مهندسي كشاورزي – آبياري ، مهندسي كشاورزي – ماشينهاي كشاورزي ، مهندسي كشاورزي – اقتصاد كشاورزي ، تكنولوژي آبياري . تكنولوژي ماشينهاي كشاورزي ، مهندسي علمي كاربردي برق – شبكه هاي انتقال توزيع ، مهندسي علمي كاربردي عمران – بهره برداري از سد و شبكه ، مهندسي علمي كاربردي عمران – شبكه هاي آب و فاضلاب ، مهندسي علمي كاربردي عمران – تاسيسات ابي ، كاربردي طراحي و مهندسي پتروشيمي ، كاربردي مهندسي عمليات صنايع پتروشيمي . كاربردي طراحي و مهندسي پليمر ، كاربردي مهندسي ايمني و بازرسي فني ، كاربردي مهندسي ايمني و حفاظت ، علمي كاربردي مهندسي مخابرت – سوئيچ ، علمي كاربردي مهندسي مخابرات – انتقال ، مهندسي عمران روستايي . مهندسي دريايي ، كاردان فني الكترونيك صدا و سيما ، دبيري زبان انگليسي و. زبان انگليسي ، مترجمي زبان انگليسي ، زبان آلماني ، مترجمي زبان الماني ، زبان ايتاليايي ، مترجمي زبان ايتاليايي ، زبان روسي ، مترجمي زبان روسي ، زبان فرانسه . مترجمي زبان فرانسه ، زبان و ادبيات ارمني ، زبان و ادبيات اردو ، زبان ژاپني ، زبان چيني ، زبان اسپانيايي ، كتابداري ( مقاطع كارشناسي و كارداني در كليه موسسات ) ، كارشناسي خبرنگاري ( گرايشهاي اقتصادي و علوم استراتژيكي )  .

تذكر مهم : در رشته هاي : حسابداري ( مقطع كارشناسي و كارداني در كليه موسسات ) ، مديريت ( كليه گرايشهاي مديريت در كليه موسسات ) ، مديريت و كميسر دريايي ، علوم پايه نظامي ، افسري ( فيزيك علوم نظامي ) ، افسري ( مديريت ) ، مديريت ( خاص علوم نظامي ) ، الهيات و معارف اسلامي ( فقه و حقوق اسلامي ) ، الهيات و معارف اسلامي ( فلسفه و حكمت اسلامي ) ، الهيات و معارف اسلامي ( شاخه علوم قرآن و حديث ) ، علوم اسلامي ، علوم قرآني ( تربيت معلم قرآن مجيد ) ، كارشناسي حسابداري ( گرايش امور مالياتي ) كارشناسي حسابداري ( گرايش دولتي ) كارشناسي حسابداري ( گرايش حسابرسي ) كارشناسي مديريت امور بانكي ، مديريت بيمه ، امور گمركي ، روابط سياسي، علوم سياسي ، فلسفه .‌حقوق ، تاريخ ، علوم قضايي ، كارشناسي علوم انتظامي ، علوم سياسي ( گرايش امنيت ملي ) ، مددكاري اجتماعي ، كارداني امور گمركي ، كارداني حسابداري ،كارداني امور بيمه ، كارداني مديريت امور بانكي ، كارداني بازرگاني ، كارداني علوم انتظامي ، مديريت بيمه اكو ، امور دفتري ( منشيگري ) پذيرش دانشجو از چند گروه آزمايشي و منحصرا براي موسسه يا موسسات به صورت متمركز و يا نيمه متمركز صورت مي گيرد .

عنوان شغل : مهندس مكانيك

تعريف :

متصديان اين شغل تحت نظارت كلي ، عهده دار انجام كارهاي فني و مطالعاتي و برنامه ريزي د رزمينه هاي نصب ماشين الات ، بازبيني و نظارت بر كارگاههاي تعميراتي و تاسيساتي فني ، تهيه طرح و بررسي و مطالعه نشريات و دستورالعملهاي فني ، دائر نگاه داشتن و بكار انداختن ماشين الات و يا بازرسي و كنترل قطعات نو سازي محصولات را بعهده دارند .

نمونه وظايف و مسئوليتها رشته ریاضی :

ـ بررسي و بازبيني كارگاههاي تعميراتي ماشين آلات و صنايع فلزي .

ـ ترسيم نقشه قطعات و همكاري د رتهيه آنها .

ـرسيدگي و نظارت در انجام كليه تعميرات ماشين الات سبك و سنگين و انواع دستگاههاي مكانيكي .

ـ تهيه طرحهاي صنعتي بمنظور بهبود و افزايش محصولات صنعتي و راهنمائي به صاحبان صنابع .

ـ بازرسي تمام قسمتهاي ماشين الات و ديزل ، تحويل و تحول قطعات ديزلها ، برف روبها ، جرثقيل ها .

ـ طراحي و نقشه كشي از قطعات مورد لزوم كارخانجات .

ـ تهيه طرح بمنظور بهبود وضع و افزايش محصولات فني .

ـ تهيه و نشر مطلب آموزشي بمنظور بالا بردن سطح اطلاعات فني كاركنان .

شرايط احراز شغل در رشته ریاضی :

ـ دانشنامه دكترا يا فوق ليسانس يا ليسانس در يكي از رشته هاي مكانيك . تكنولوژي آموزش صنعتي ، مكانيك ماشينها ، مكانيك عمومي ماشين الات ، تعميرات مكانيك . برق 0 الكتروتكنيك ) صنايع . صنايع فلزي ، صنايع فولادي ، فلزكاري ، ماشين الات سنگين ( كشاورزي ، معدن ، راهسازي ) ماشينهاي ابزار ، ماشين سازي . تكنولوژي اتومبيل ( اتومكانيك ) تكنولوژي مهندسي ، تكنولوژي توليدات صنعتي ، توليد و صنعت ، مكانيك دريايي ، طراحي ماشين . طراحي صنعتي ، ترموديناميك . ماشينهاي حرارتي ، صنايع اتومبيل .

ـ گواهينامه فوق ديپلم در يكي از رشته هاي فوق الذكر و كسب تجارب لازم .

ـ متقاضيان تصدي اين شغل پس از فراغت از تحصيل مي توانند در :

ـ وزارتخانه ها ، سازمانها ، موسسات و شركتهاي دولتي اشتغال يابند .

عنوان شغل : كاردان مكانيك

تعريف :

متصديان اين شغل تحت نظارت كلي عهده دار انجام وظايف فني و اجرائي و عملي در زمينه هاي تعميرات و تعويض قطعات ماشين الات و ساير تجهيزات تعمير ، تعويض ، نوسازي ادوات و قطعات ماشين آلات و وسائل مكانيكي و يا موارد نظير آن مي باشند و يا با كارشناسان اين رشته د رزمينه تهيه طرحها و انجام تعميرات اساسي همكاري مي نمايند.

نمونه وظايف و مسئوليتها :

ـ نصب و بكار انداختن ماشين الات كارگاههاي مكانيكي .

ـ توليد قطعات فلزي مورد لزوم در كارخانه هاي مربوط به صنايع بزرگ .

ـ پياده كردن وسائل و قطعات ماشين الات و رفع نواقص آنها و سوار كردن قطعات تعمير شده يا جديد .

ـ نوسازي قطعات ماشين آلات و وسائل مكانيكي و تعمير رادياتورهاي آب روغن .

ـ تراشيدن و مونتاژ چرخها ، ژنراتورها و الكتروموتورها .

ـ نظارت بر تعميرات شاسي و تجهيزات مربوطه از قبيل تامپونها ، قلابها و نظارت بر تعمير مخازن مختلف ، سيلندر ، پيستون . سوپاپ ، جعبه دنده ، كلاج ، دورانژكتور ، فشار روغن ، تنظيم گاورنر ، پروانه هاي خنك كننده آب .‌مقاومتهاي ترموديناميك . ژنراتورها و الكتروموتورها .

ـ تهيه گاز اكسيژن و نگهداري از ماشين آلات مربوطه .

شرايط احراز شغل :

ـ گواهينامه فوق ديپلم در يكي از رشته هاي مكانيك . تاسيسات حرارتي ، برق ( الكترونيك) صنايع فلزي . صنايع فولادي ، فلزكاري . طراحي صنعتي ، ماشين آلات سنگين ،‌ماشين آلات كشاورزي ، ماشينهاي حرارتي ، طراحي ماشين .

ـ گواهينامه پايان تحصيلات كامل متوسطه در يكي از رشته هاي مكانيك ، برق ( الكترونيك) ، برق و مكانيك ، برق و ماشين ، صنايع فلزي ، صنايع فولادي ، ماشين افزار ، فلزكاري ، قالبسازي ، ماشين افزار ، ريخته گري ، تاسيسات حرارتي و برودتي ، تاسيسات بهداشتي و حرارتي و كسب تجارب لازم .

متقاضيان تصدي اين شغل پس از فراغت از تحصيل مي توانند در :

ـ وزارتخانه ها ، سازمانها ، موسسات و شركتهاي دولتي اشتغال يابند .

عنوان شغل : مهندس تاسيسات

تعريف :

متصديان اين شغل تحت نظارت كلي عهده دار انجام كارهاي فني و مطالعاتي و برنامه ريزي در زمينه هاي مربوط به تهيه طرح و تنظيم برنامه و برآورد و محاسبه هزينه نصب ، بهره برداري و نگهداري تاسيسات ، محاسبه هزينه ، تجزيه و تحليل امور فني تاسيساتي ناحيه صنعتي را بعهده دارند .

نمونه وظايف و مسئوليتها :

ـ تهيه و طرح و محاسبه پروژه هاي لوله كشي آب ، فاضلاب روستاها و شهرها

ـ انجام امور فني و مهندسي مربوط به نگهداري از ساختمانها و تاسيسات ناحيه صنعتي از قبيل آب ، برق ، فاضلاب ، آسانسور ، جرثقيل ، تهويه و شوفاژ .

ـ تهيه و تنظيم برنامه و برآورد هزينه مربوط به چگونگي توسعه و تعمير تاسيسات ناحيه صنعتي

ـ انجام تحقيقات و بررسيهاي علمي و فني در زمينه برق و تاسيسات .

ـ محاسبه و تهيه طرح و براورد قيمت تمام شده تاسيسات يا دستگاههاي تصفيه آب استخر يا دستگاههاي مركزي فشار ضعيف يا شبكه مركزي توليد نيرو .

ـ رسيدگي و نظارت بر محاسبات و براورد قيمت ساتنرالهاي بزرگ و تاسيسات كشتارگاهي و يا تجهيزات بيمارستانها و سرپرستي بر لوله كشي ساختمانها و تعمير وسائل تاسيساتي .

ـ نوسازي قطعات مربوط به تاسيسات .

ـ سرپرستي و نظارت بر لوله كشي ساختمانها و تعمير وسايل تاسيساتي .

ـ نظارت بر قطعات يدكي و انتقال موتورها و تعمير موتور و تلمبه .

شرايط احراز شغل :

ـ دانشنامه دكترا يا فوق ليسانس يا ليسانس در يكي از رشته هاي تاسيسات ، برق ، الكترونيك ، مكانيك . تاسيسات آبي ، توليد و رشته هاي مشتق از آن .

ـ گواهينامه فوق ديپلم در يكي از رشته هاي تاسيسات ،‌برق . الكترونيك ، تكنولوژي وسائل نقليه ، مكانيك و طراحي صنعتي و كسب تجارب لازم .

متقاضيان تصدي اين شغل پس از فراغت از تحصيل مي توانند در :

ـ وزارت نيرو و شركتهاي وابسته و ساير وزارتخانه ها ، موسسات و شركتهاي دولتي اشتغال يابند .

عنوان شغل  : مهندس تجهيزات پزشكي

تعريف :

متصديان اين شغل تحت نظارت كلي عهده دار انجام كارهاي فني و مطالعاتي و برنامه ريزي در زمينه هاي تجهيزاتي مراكز درماني ، آموزش چگونگي استفاده از لوازم و تجهيزات پزشكي و تعمير آنها ، انجام تحقيقات نظري و عملي در زمينه بهبود كيفيت توليد و نگهداري لوازم پزشكي ، نظارت بر تهيه قطعات يدكي و نصب آنها بازديد از دستگاهها و ماشين آلات پزشكي را بعهده دارند .

نمونه وظايف و مسئوليتها :

ـ رسيدگي به امور مربوط به تجهيزات پزشكي و تهيه برنامه هاي تعميراتي و راه اندازي .

ـ نصب و راه اندازي تجهيزات پزشكي بر اساس استانداردهاي تعيين شده .

ـ آموزش تعميرات و نگهداري لوازم و ماشين الات پزشكي به تكنيسينهاي مربوط .

ـ انجام تحقيقات پيرامون بهبود كيفيت توليد و نگهداري و تعمير لوازم و ماشين آلات پزشكي .

ـ نظارت در بررسي پيشنهادات ارجاع شده مربوط به استانداردهاي وسائل و لوازم دستگاههاي پزشكي .

ـ تهيه طرحهاي تجهيزاتي مراكز درماني .

ـ نظارت در انجام تحقيقات و آزمايشهاي لازم در زمينه ساخت و تعميرات پزشكي و استاندارد كردن آنها .

ـ سرپرستي و نظارت بر كار گروههاي تعميرات و تجهيزات پزشكي و كارگاههاي مربوط .

ـ جمع آوري اطلاعات لازم در زمينه تعميرات و تهيه لوازم ماشين الات و دستگاههاي پزشكي .

ـ تعقيب و پيگيري جهت انجام پروژه ها و رفع مشكلات مربوط به تجهيزات پزشكي .

شرايط احراز شغل :

ـ دانشنامه دكترا يا فوق ليسانس در يكي از رشته هاي مهندسي پزشكي ، الكترونيك ، برق ، مكانيك و مخابرات .

ـ متقاضيان تصدي اين شغل پس از فراغت از تحصيل مي توانند در :

وزارت بهداشت ، درمان و آموزش پزشكي دانشگاههاي علوم پزشكي و خدمات بهداشتي و درماني و بيمارستانها اشتغال يابند . سایت فروشگاه علمی اسمان

تحقیق رایگان فروشگاه علمی آسمان

نقش مسلمانان در پيشرفت رياضيات

مسلمانان علم رياضي ، خاصه جبر و مقابله را به گونه اي پيشرفت دادند که مي توان گفت آنان موجد اين علم مي باشند.اگر اصول و مبادي علم رياضيات قبل از اسلام در دنيا وجود داشت ، لکن مسلمين انقلابي در آن ايجاد کردند و از جمله اينکه قبل از ديگران جبر و مقابله را در هندسه بکار بردند.

جبر و مقابله تا بدانجا مورد توجه آنان بود که مأمون عباسي در قرن سوم هجري ( قرن نهم ميلادي ) به ابومحمد بن موسي ، يکي از رياضيدانهاي دربار خود امر کرد کتاب سادة عام الفهمي در جبر و مقابله تآليف نمايد.

محمدبن موسي ( فوت در سال 257 يا 259 هـ. ق. ) يکي از سه برادر دانشمندي بود که به بنوموسي شهرت داشتند.در نيمةدوم قرن سوم هجري ثابت بن قره( 221-228 هـ. ق. )طبيب ،رياضيدان و منجم حوزه علمي بغداد خدمات بسياري را در زمينه ترجمه کتابهاي علمي از زبانهاي سرياني و يوناني به زبان عربي انجام داد.

وي دارالترجمه اي تأسيس کرد که بسياري از دانشمندان آشنا به زبانهاي خارجي در آن کار ميکردند. در اين دارالترجمه بسياري از آثار يونانيان نظير آپولونيوس ، اقليدس ، ارشميدس ، تئودوسيوس ، بطلميوس ، جالينوس و ائوتوکيوس به وسيله او يا تحت سرپرستي وي به عربي ترجمه شد.

ابو حفض يا ابوالفتح الدين عمر بن ابراهيم نيشابوري مشهور به خيام نيشابوري از برجسته ترين حکما و رياضي دانان جهان در سال 329 ه.ق در نيشابور به دنيا آمد .خيام کمتر مي نوشت و شاگرد مي پذيرفت ، وي براي کسب دانش به خراسان و عراق نيز سفر کرد . به واسطه تبحر و دانش عظيمي که در رياضيات و نجوم داشت ، از سوي ملکشاه سلجوقي فراخوانده شد، ملکشاه به او احترام مي گذاشت و خيام نزد او قرب و منزلت ويژه اي داشت . او بنا به خواست ملکشاه در ساخت رصدخانه ملکشاهي و اصلاح تقويم با ساير دانشمندان همکاري داشت . حاصل کارش در اين زمينه تقويم جلالي آن است که هنوز اعتبار و رواج دارد و تقويم او از تقويم گريگور يابي دقيق تر است .

يکي ديگر از دانشمندان اسلامي که تحولي عظيم در علم رياضي پديد آورد ابوعبدالله محمدبن موسي خوارزمي( متوفي 232 هـ. ق. ) است.اين رياضيدان ، منجم، جغرافيدان و مورخ ايراني يکي از منجمين دربار مأمون خليفه بود. وي در بيت الحکمه مشغول کار بود.
بيت الحکمه مؤسسه علمي معروفي بود که مأمون خليفة عباسي ( 198-218 هـ. ق. ) به تقليد از دارالعلم قديم جنديشاپور در بغداد تأسيس کرد. ظاهراً فعاليت عمدة اين مرکز ترجمة آثار علمي و فلسفي يوناني به عربي بود. عده اي از مترجمان برجسته و نيز کاتبان و صحافان در آنجا کار مي کردند. کتابخانه اي که بدين طريق فراهم آمد و عنوان خزانه الحکمه داشت از زمان هارون الرشيد و برامکه سابقه داشت.

از مؤسسات وابسته به بيت الحکمه رصدخانه اي در بغداد و رصدخانه اي در دمشق بود که منجمين و رياضيدانان اسلامي در آنجا به رصد کواکب و فراهم کردن زيجها (جداولي که از روي آن به حرکت اجراي سماوي پي مي برند) اشتغال داشتند.

درباره اهميت و ارزش آثار خوارزمي چنين آورده اند:

« خوارزمي درخشانترين چهره در ميان دانشمنداني بود که در دربار مأمون گرد هم آمده بودند. او کتب و آثاري را در علوم جغرافيا و نجوم تدوين نمود که سيصد سال بعد به وسيله آتل هارت انگليسي به لاتين ترجمه و در اختيار علماي اروپا قرار گرفت

ولي دو اثر او در رياضيات نام او را جاوداني ساختند. يکي از آنها حل المسائل علمي ، براي زندگي عملي، با عنوان جبر و مقابله بود. مترجمي که در قرون وسطي اين اثر را برگرداند نيز همان نام عربي را براي آن برگزيد و اولين کلمة عنوان کتاب يعني « الجبر» را براي هميشه در رياضيات تحت عنوان Algebra به جاي ماند ( گذاشت ).

دومين اثر خوارزمي که نامش را جاودان ساخت ، همان کتاب آموزشي فن محاسبه بود که در آن طريقة استفاده از اعداد هندي را مي آموخت. نوشتن اعداد ، جمع و تفريق ، نصف کردن و دو برابر کردن ، ضرب، تقسيم و محاسبات کسري. اين کتابچه نيز به اسپانيا آورده و در اوايل قرن دوازدهم ميلادي به لاتين برگردانده شد. ترجمة آن از عربي به لاتين با اين جمله آغاز مي گردد: «چنين گفت الگوريتمي ( خوارزمي ) ، بگذار خدا را شکر گوييم، سرور و حامي ما.»

Dixit algorithmi : lavdes deo rectorinostri atque defensori dicamus dignos
از ديگر دانشمندان اسلامي که در رشد دانش رياضي بسيار مؤثر بودند مي توان از ابوالوفاي بوزجاني( 328-388 هـ. ق. ) نام برد.

ابوالحسن احمدبن ابراهيم اقليدسي

(شکوفايي:341/952-953، دمشق)،

در هيچ کتاب مأخذي نام اقليدسي نيامده است و فقط از تنها نسخه کتابش به نام کتاب الفصول في الحساب الهندي (استانبول، يني جمع، 802) شناخته مي‌شود، که در سرلوحه آن نام مؤلف آمده و نوشته شده که کتاب در دمشق به سال 341/952-953 به رشته تحرير درآمده است. نسخه‌ خطي موجود رد 552/1157 رونويس شده است. مولف در مقدمه‌ کتاب مي‌گويد که سفر بسيار کرده، و هر کتابي در حساب هندي را که به دست آورده خوانده، و از هر رياضيدان سرشناسي که ديده چيزي آموخته است. صفت «اقليدسي» به نام همه‌ کساني افزوده مي‌شد که از اصول اقليدس براي تدريس رونويس تهيه مي‌کردند؛ پس شايد که وي معاش خود را از اين راه تأمين مي‌کرده است. قرينه‌هاي داخلي نشان مي‌دهد که وي در تعليم حساب هندي تجربه‌اي داشته، زيرا که مي‌دانسته است مبتديان چه مي‌پرسند و پاسخشان را چگونه بايد داد.

کتاب چهار بخش دارد. رد بخش اول ارقام هندي معرفي شده است، ارزش مکاني توضيح گرديده و اعمال حسابي، از جمله گرفتن جذر، تشريح شده است؛ با مثالهاي متعدد از عددهاي صحيح و کسرهاي متعارف، در دستگاههاي دهدهي و شصتگاني.

در بخش دوم موضوع در سطح بالاتري توضيح شده و مشتمل است بر طرح 9 به 9 اعداد، و صورتهاي متعدد اعمالي که طرح کلي آنها در بخش اول آمده است. مؤلف در مقدمه تصريح مي‌کند که در اين بخش روشهايي را که حسابگران عملي نامدار به آنها عمل مي‌کرده‌اند گرد آورده و به طريق هندي بيان کرده است. اين بخش محتوي تقريباً همه طرحهاي عمل ضرب است که در کتابهاي بعدي لاتيني ظاهر شده است.

در بخش سوم توجيه مفاهيم و مراحل متعددي که در دو بخش اول عرضه گرديده‌اند، معمولاً در جواب به پرسشهاي «چرا؟» و «چگونه است که؟»، آمده است.

براي ارزشيابي بخش چهارم گفتن چند کلمه اي بد نيست. در چند سط اول متن کتاب آمده است که حساب هندي، به صورتي که به اعراب رسيده، مستلزم استفاده از چرتکه خاکي (تخت و تراب) است. کمي بعد گفته شده است که اعمال منوط به جا به جا کردن ارقام و پاک کردن آنها است.

مثلاً در ضرب 456 در 329 اعداد بدين صورت نوشته مي‌شوند:

329
456
آنگاه 3 در 4 ضرب شده و حاصل به صورت 12 در يک سطر بالاتر از آنها ثبت مي شود بعد 3 در 5 ضرب مي‌شود و لازمه‌ اين کار اين است که رقم 5 در سطر بالا نوشته شود و نيز 2 پاک شود و 3 به جاي آن نوشته شود، 3 در 6 ضرب مي‌شود ايجاب مي‌کند که پس از نوشتن 8، رقم 5 که طرف چپ آن است محو گردد و 6 به جاي آن گذاشته شود. براي آماده شدن براي گام بعدي سطر پايين به اندازه يک رقم به راست برده مي‌شود. آرايش عددها حالا بدين صورت است:

136829
456
456 را بايد در 2، که بالاي رقم يکان 456 است، ضرب کرد. وضع رقم يکان مضروب در سطر پايين، مضروب فيمه را ـ يعني عددي را که بايد در بس شمرده ضرب شود ـ‌معين مي‌کند. مراحلي را که باقي مانده است حالا مي‌توان به آساني پيمود.

آشکار است که کاغذ و مرکب را نمي توان در چنين طرحي به آساني به کار برد. در بخش چهارم کتاب تغييراتي در طرحهاي هندي پيشنهاد شده است که با آنها مي‌توان تخت و تراب را کنار گذاشت و کاغذ و مرکب را به جاي آن به کار گرفت. اکنون مي‌توانيم حکم کنيم که طرحهاي اقليدسي نمايش گام اول ازيک رشته تلاشهايي است که نتيجه آنها نخست در بخش عربي جهان اسلام و چند قرن بعد در بخش شرقي آن، کنار گذاشتن تخت و تراب بود.
پس از آن که اقليدسي فکر تغييري در هر عمل را پيش آورد پيشنهاد کرد که:

حروف يوناني مي‌توانند جانشين ارقام هندي شوند؛

ارقام هندي با نقطه‌هايي که بالاي آنها گذاشته شود ممکن است الفباي عربي تازه‌اي تشکيل دهند؛

مي‌توان تاسهايي در نظر گرفت که در هر طرف آنها يک يا دو رقم نقش شده باشد و بتوان آنها را به جاي چرتکه به کار برد؛

تخته‌ محاسبه‌اي مي‌توان ترتيب داد که کوران از آن استفاده کنند.

انديشه‌ دوم در کتابهاي ديگر آمده است و انديشه سوم اَپِکهاي بوئتيوس را به ياد مي‌آورد. شايد در اينجا اقليدسي روشهايي را که ديگران آورده‌اند تشريح مي‌کند، نه آنکه چيزي ابتکاري عرضه نمايد. کتاب با بحثي مستوفا درباره و روش استخراج کعب به پايان مي‌رسد.
اقليدسي از اين توفيقات درکتابهايش به خود مي بالد:

در بخش نخست همه‌ محتواي متوني را که درباره حساب هندي نوشته شده بوده عرضه کرده و آن را در دستگاه شصتگاني به کار برده است. ما اين کتابها را در دست نداريم تا بتوانيم درباره‌ درستي ادعاي او اظهار نظر کنيم. Algorismus cor pus لاتيني نشان مي‌دهد که حساب هندي به صورتي که خوارزمي (قرن سوم/نهم) آن را عرضه کرده بود با آنچه بعداً در جهان اسلام انتشار يافت فرق اساسي دارد. کاربرد طرحهاي هندي در دستگاه شصتگاني رد همه‌ کتابهاي حساب که بعدها به عربي نوشته شده ديده مي‌شود.

در بخش دوم روشهاي را آورده است که فقط حسابدانان سرشناس به آنها واقف بوده‌اند، و روش طرح 9 به 9 را به کسر و جذر نيز سرايت داده است. به قرينه‌ کتابهاي بعدي مي‌توان به قبول اين ادعاي اقليدسي متمايل بود.

در بخش چهارم نشان داده است که حساب هندي ديگر احتياجي به تخت و تراب ندارد. اين تغيير بيشتر مطبوع طبع مغر بزمين بود تا مشرق زمين. در تأييد اين گفته مي‌توانيم خاطر نشان کنيم که اين بناي مراکشي (وفات 721/1321) در يکي از کتابهاي حسابش به عنوان چيزي حيرت‌انگيز به اين نکته اشراه کرده بود که قديميان براي محاسبه از خاک استفاده مي‌کرده‌اند، در حالي که خواجه نصيرالدين طوسي (وفات 672/1274) هنوز تخت و تراب را آنقدر مهم مي‌دانسته است که درباره‌اش کتابي بنويسد.

در بحث درباره ميان جمله‌ nام و مجموع n جمله فوق گذاشته است و مدعي است که حسابگران ديگر آن دو را با هم خلط کرده‌اند.

مدعي است که اولين کسي است که درباره ريشه‌ سوم (کعب) اعداد مطالبي رضايت‌بخش نوشته است. سندي براي ابراز نظر قطعي در مورد دو ادعاي اخير در دست نيست، اما دلايل ديگري داريم براي آن که کتاب الفصول في الحساب الهندي القيدسي را از بين در حدود صد کتاب عربي موجود از همه بهتر بدانيم.

نخست اين که اولين کتاب شناخته شده اي است که مستقيماً به کسرهاي اعشاري پرداخته است. مؤلف علامت اعشاري خاصي پيشنهاد مي‌کند و در استفاده‌ دايمي از آن اصرار مي‌ورزد؛ و آن خطي است که بالاي رقم يکان مي‌گذارد. در جريان تقسيم متوالي 26 بر 2 اين دنباله را بدست مي‌آورد: 13، 5/6، 25/3، 625/1، 8125/5. مي‌داند که چگونه با ضرب متوالي در 2 و با صرف‌نظر کردن از صفرهاي طرف راست بار ديگر عدد 13 را به دست آورد. در فرآيندي که مکرر 135 را به اندازه‌ يک دهم آن زياد مي‌کند اين آرايش را به دست مي‌آورد:

35/163
335 /16 , 5/148
85/14 , 135
5/13
685/179 35/163 5/148

و بدين قياس. و نيز براي يافتن ريشه‌هاي تقريبي اعداد اين قاعده‌ها را به کار مي‌برد:
و k را مساوي مضربي از 10 اختيار مي‌کند.

با اين که حسابدانان ديگري هم همين قاعده‌ها را به کار برده‌اند اما همه‌ آنان پس از به دست آوردن کسر اعشاري آن را، ماشين‌وار، به دستگاه شصتگاني مي‌بردند بي‌آنکه نشانه اي از اين مفهوم اعشاري را درک مي‌کنند ظاهر سازند. فقط اقليدسي است که در موارد متعدد ريشه را در مقياس دهدهي تعيين مي‌کند. در همه‌ اعمالي که توانهاي 10 در صورت يا در مخرج دخليند در کمال راحتي عمل مي‌کند.

دوم آن که کتاب اقليدسي اولين کتابي است که به روشني معين آن است که حساب هندي وابستگي به تخت و تراب داشته است. مؤلف در مقدمه‌ کتاب دستگاه حساب هندي را با حساب انگشتي، که در آن زمان متداول بوده، مي‌سنجد و ارزيابي درستي از خوبيها و نارساييهاي هر يک به عمل مي‌آورد. حالا معلوم شده است که بوزجاني (328-388/940-977 يا 8) و ابن بنا (وفات 721/1321) طرداً للباب درباره‌ تخت و تراب در حساب هندي مطلبي گفته‌اند، اما اين اشاره‌ها مختصرتر از آن بوده است که توجه دانشمنداني را که آنها را مطالعه مي‌کرده‌اند به خود جلب کند.

 تحقیق رایگان سایت فروشگاه علمی اسمان