عناصر متناهي يا المان محدود يعني تقسيم يك مدل به قسمت هاي كوچكتر وتجزيه و تحليل آن المان ها(قسمت ها).

اين ايده ي جديدي براي تحليل يك مدل نيست بلكه از زمانهاي بسيار قديم آن را مي شناختند وبه كار مي بردند يكي از مثال هاي بسيار قديمي محاسبه ي عدد«  »« pi »است.

بعد از ظهور ماشين هاي محاسبه گر اين ايده پا به عرصه ي جديدي گذاشت و توصعه ي زيادي هم از نظر تئوري و از نظر كاربرد پيدا كردبه طوري كه استفاده از ماشين بدون در نظر گرفتن اين ايده و نظريه غير ممكن است و تمامي برنامه نويسان كامپيوتر به نحو بسيار گسترده اي ازآن استفاده مي كنند.

براي انجام هر كاري با ماشين به علت محدود بودن محاسبات و زمان انجام آن و پارامترهاي ديگربايد به يك تقريب قابل قبول از جواب اكتفا كنيم پس مي توان گفت اصل استفاده ازماشين ها با عناصر متناهي يا المان محدود عجين شده است.

اما اين استفاده در ضمينه ي گرافيك،رسم توابع رياضي در ماشين،انجام محاسبات مهندسي در ماشين ،روش هاي بدست اوردن جواب يك فرمول رياضي در يك نقطه ي مشخص ،روش هاي حل عددي مشتقات يك تابع و يا روش هاي حل عددي انتگرال توابع و... نمود بيشتري دارد كه دراين قسمت از هر كدام از اين موارد چند مثال در نرم افزارهاي تخصصي آن رشته آورده مي شود:

1-       رسم توابع

الف- نرم افزار DP graph :

       اين نرم افزار بسيار قوي در رسم توابع وفرمول هاي رياضي در دو يا سه بعدو به گونه اي در چهار بعد، از المان محدود به خوبي ود جسته است.

تعداد اين المان ها با عددي به نام« resolution »مشخص مي شود،نرم افزار براي رسم، دامنه رسم(بازه ي رسم) را به اين تعداد قسمت به طور مساوي تقسيم مي كند ومجموعه اي از نقاط دردامنه را به دست مي اورد با قراردادن اين نقاط در تابع ويا فرمولي كه براي رسم به نرم افزار داده شده است مجموعه اعدادي متناظربااين نقاط در برد به دست مي ايد كه روي هم نقاطي را به دست مي دهد اگر رسم در قسمت دو بعدي باشد بين دو نقطه اي كه در افراز دامنه به هم نزديك تربوده اند يك خط رسم مي كند براي مثال در رسم توابع درمختصات دكارتي« cartesian chart »بين دو نقطه اي كه x آنها به هم نزديك تراست يك خط رسم مي كند پس مي توان گفت تابع را بين اين دو نقطه به صورت خطي تقريب زده ايم ورسم كرده ايم از جهت محاسبات مي توان گفت به تعداد عدد « resolution »نقطه وجود دارد.  

graph3d.resolution := 5  graph3d(y=sin(x))	graph3d.resolution := 50  graph3d(y=sin(x))

در رسم سه بعدي نيز همين عدد وجود دارد اما در اين قسمت دامنه از دومجموعه تشكيل شده كه هر يك از آنها به تعداد عدد « resolution»افراز مي شوند براي مثال در مختصات دكارتي«cartesian chart»دامنه را كه ازدو مجموعه ي x وy تشكيل شده است به عدد«resolution»افراز مي كند پس از نظر محاسباتي به توان دو عدد«resolution»نقطه وجود دارد .
از هر سه نقطه يك صفحه رسم مي شودو اين صفحات به هم اتصال يافته ورويه ي تابع رسم مي شود.

graph3d.resolution := 6  Graph3d(z=sin(x*y))	graph3d.resolution := 30  Graph3d(z=sin(x*y))

ب-نرم افزارMathematica: 
اين نرم افزار نيز در قسمت هاي مختلف خود از المان محدود استفاده مي كند كه يكي از آنها در رسم توابع است شيوه ي استفاده از آن مثل نرم افزار« Dpgraph»است اما تابع آن در اين نرم افزار با تابع آن درنرم افزار« Dpgraph»متفاوت است درنرم افزار«Mathematica»اين تابع «PlotPoints» است و شيوه ي استفاده ازآنگسترده ترازنرم افزار «Dpgraph» است در اين نرم افزار مي توان تعداد افرازهاي هرمجموعه براي رسم سه بعدي را تعيين كرد براي مثال مي توان در مختصات دكارتي«cartesian chart»xرابهnقسمت وyرابهmقسمت مساوي كرد در اين صورت از نظر محاسباتي مي توان گفت كهm*n نقطه وجود دارد .
 

2 -انجام عمليات مهندسي :

در مهندسي امروز نيزيكي از روش هاي متداول تقسيم مدل به المان هاي كوچكتري است تا قوانين علمي را بتوان به سادگي براي آن المان ها بررسي كردوبه نتايج خوبي رسيد.براي مثال تعيين نيروهاي موجود در اعضاي يك خرپا كه با تقسيم آن خرپا به المان هايي و نوشتن معادلات تعادل در آن ها مي توان تمامي نيروهاي داخلي را محاسبه كرد. در نرم فزار هاي تحليل مهندسي مانند Ansys,Catia,Visual nastran (مخصوص مهندسي مكانيك) براي بدست آوردن جواب هاي مهندسي از جمله تنش، كرنش، پيچش، چرخش،تغيير شكل، سرعت لحظه اي ،شتاب لحظه اي و... از افراز جسم به المان هاي محدودي استفاده مي شودكه نوع اين افرازها و بزرگي و كوچكي آنها توسط كاربرانتخاب مي شود و در سرعت و دقت تحليل تاثير زيادي دارد به طوري كه تنها به كسي مي توان گفت متخصص اين نرم افزار هاست كه متخصص در تعيين اين المان ها باشد مخصوصاً در نرم افزار بسيار پر قدرت و تخصصي Ansys .

در اين دسته از نرم افزار ها پا فراتر از بحث هاي خطي سازي است و اندازه و شكل المان همچنين نوع تحليل ازقبيل انتقال حرارت،الكتريسيته،ديناميك،سيالات و... همچنين بعد تحليل ونيز نوع جسم و پارامتر هاي ديگر در تعيين نوع المان مهم هستند.

الف-نرم افزار Ansys :

      شايد بتوان گفت در اين نرم افزار مهمترين كار براي هر نوع تحليلي تعيين نوع المان و كوچكي و بزرگي آن است.

براي شروع هر تحليل اولين كارتعيين نوع المان است كه براي تحليل هاي انتقال حرارت، دو بعدي،سه بعدي و... فرق دارد .دومين كار تعيين خصوصيات آن المان است براي مثال اگر نوع المان براي تحليل يك خرپا از نوع« link » باشد بايد سطح مقطع آن مشخص شود يعني بايدسطح مقطع عناصر خرپا مشخص شود.در سومين مرحله بايد خصوصيات ماده مشخص شود كه المان از آن ساخته شده است.مثلاً براي تحليل خيز(ميزان خم شدن)يك تيربايد خصوصيات آن از جمله ضريب يانگ« Young’s modulus » ، چگالي «Density » ،نسبت پويسن« Poisson’s ratio »و... را مشخص كرد.مراحل بعدي مربوط به گرفتن جواب است.

همان طور كه گفته شد تعيين نوع المان و اندازه و شكل آن در سرعت و دقت جواب هاي بدست امده تاثير بسزايي دارد.

ب-نرم افزار Catia :

     اين نرم افزار بسيار قوي در طراحي كه قسمتي را به تحليل اختصاص داده است براي كار تحليل خود مشابه ديگر نرم افزار ها مدل را به المان هايي افراز مي كند و جواب ها را در گره ها(جايي كه چهار المان با هم اشتراك دارند)بدست مي آورد.در اين نرم افزار نيز شكل و كوچكي و بزرگي المان ها در دقت و سرعت جواب تاثير زيادي دارد به همين دليل در اين نرم افزار براي راحتي كار خود برنامه ميزاني از بزرگي و كوچكي را پيشنهاد مي كند كه با توجه به زمان و دقت تحليل تعيين مي شود و مقدار اپتيممي است.

در زير چند نمونه از اين المان ها را براي تحليل هاي مختلف نشان مي دهيم:

1-افراز يك رينگ به المان هايي محدود جهت تحليل رينگ.



در اين شكل گره ها مشخص است كه ماشين جوابها را در اين گره ها بدست مي آورد.
 

2-افراز لاستيك به المان هايي براي تحليل آن: 

 

3-مدل كردن جوش دو لوله واستفاده از المان محدود براي تحليل آن:

تهیه کننده: حامد گل محمدی