دینامیک شبکه های الکتریکی

خلاصه:

ديناميك يك شبكه الكتريكي را مي توان با دانستن صفرها و قطب‌هايش به طور كامل توصيف كرد. هر ترانسفورماتور را مي توان با يك شبكه نردباني  كه از حل مدار معادل آن به دست مي آيد بيان كرده و به كمك آن صفرها و قطب‌هاي تابع انتقال آن را به دست آورد.

ما مي خواهيم يك راه حل كوتاه بر مبناي آناليز فضاي حالت را نشان دهيم. با استفاده از فضاي حالت و توابع لاپلاس شرايط مناسبي براي محاسبه عددي فراهم مي آيد. با استفاده از اين تركيب در عمل ديگر محدوديتي براي سايز شبكه و توپولوژي مدار كه شامل مقاومت‌ها و خازن‌ها و القاگرها است نداريم.

معرفي: ترانسفورماتورهاي HV را عموما براي مقاومت در برابر over voltageها و نيروي مدار كوتاه طراحي مي كنند وقوع اين پديده ها طبيعي و گريز ناپذير است و علت عمده خرابي هاي ترانسفورماتور است. تشخيص به موقع براي جلوگيري از خرابي ها بسيار مهم است براي رسيدن به اين مهم تست‌هاي تشخيص و condition montoring روش‌هايي است كه به ما كمك مي كند تا از وقوع خطاها آگاه شويم.

از ميان روشهاي تشخيص، TF روش بسيار مناسبي براي تعيين خطاهاي دي الكتريك است و تغير شكل‌هاي مكانيكي است. [1]

چنانچه از اين روش براي تشخيص استفاده كنيم ،تفسير بهتر و دقيق‌تر TF براي شناسايي خطا الزامي است. مطالب جالب و متنوعي در مورد آناليز مدار معادل ترانسفورماتورها و قطب‌ها و صفرهاي تابع تبديل با توجه به نوع سيم بنديها و تاثير آنها بر روي يكديگر (inter action) به طور كامل بحث شده است.

همانطور كه در  ‌[2]اشاره شده است ، اگر صفر و قطب هاي يك سيستم يا شبكه الكتريكي را بدانيم مي توانيم ديناميك آن را به طور دقيق تعريف كنيم. به اين وجود تاثير صفرها در شكل تابع تبديل خيلي مورد توجه نبوده است. اما در [2] تفسيرهاي مفيدي از صفر تابع تبديل اعلام شده است و حذف صفر و قطب‌هاي نزديك به هم را به خوبي بيان كرده است آنچه مشخص است دانستن صفرها همانطور كه انتظار مي رود مفيد است. به ويژه وقتي بخواهيم جزئيات بيشتري در رابطه با سيم بندي‌هاي چند گانه و تداخل (interaction) آنها بدانيم.

شكل (1) مدار معادل يك ترانسفورماتور در سيم پيچ را نشان مي دهد. محاسبه فركانس‌هاي طبيعي و توزيع ولتاژ دو موضوع مورد علاقه ماست. موارد زير به عنوان نكاتي هستند كه در نمايش مدار معدل سايز بزرگ و تحليل آن بايد مورد توجه قرار گيرند.

معمولا براي نمايش بهتر و همچنين براي به دست آوردن تمام فركانس‌هاي طبيعي مدار قسمت‌هايي را به مدار اضافه مي‌كنيم.

براي تصحيح تفسير و درك بهتر تابع تبديل اندازه گيري شده از ترانسفورماتور بسيار ضروري است تمام تداخل بين سيم پيچ‌ها را در نظر بگيريم [3].

براي اينكه پاسخ ما واقعي تر گردد بايد اتلاف‌ها را در نظر بگيريم.

جاي شكل

 .IIراهكارهاي موجود درحل مسائل

در اين قسمت اشاره كوتاهي به  متدهاي موجود براي حل شكل (1)

(براي توزيع ولتاژ و فركانس هاي طبيعي كرده ايم.

1)           اگر چه نرم افزارهاي براي آناليز مدار را مي توانيم مورد استفاده قرار دهيم اما آنها فقط شماتيكي  از نتيجه TF را نشان مي دهند و اطلاعات كافي درباره قطب وصفر به ما نمي دهند . زيرا در اين نرم افزارهاي تمايز بين دو قطب نزديك به هم و يا جفت  صفر و قطب نزديك به هم ( حذف صفر  و قطب ) را بسيارمشكل مي توان تشخيص داد.

2)           در اواسط دهه 1950 يك روش از سوي ABETTI  [4]  پيشنهاد شد و او از آناليز گره اي براي آناليز مدار معادل يك سيستم كه شامل سيم پيچي دو كوپله بودند استفاده كرد كه فقط براي تعيين فركانس هاي طبيعي مدارهاي سايز كوچك مورد استفاده قرار گرفت .

3)           در سال 1964،  Guruaij [5] متد پاسخ توسعه يافته را ارائه كرد كه بر  مبناي راهكار مقادير ويژه بود. اين روش به ما در به دست آوردن فركانس‌هاي طبيعي و توزيع ولتاژ كمك مي كند و مورد استفاده براي شبكه هاي بزرگ است.

4)           در سال 1977 و Degene ff [6] يك روش مشابه كه از ماتريس گره اي ادميتانس بود ارائه  داد يكي از شرايط آن بدين صورت است كه اتلاف را در نظر نگيريم.

5) FERGETAD [7] در سال 1974 يك راهكار برمبناي فرمول فضاي حالت براي محاسبه نوسانات ارائه داد در اين روش قطب ها مستقيما از مقادير ويژه سيتم و صفرها از معكوس سيستم بدست مي آمد كه روش سر راستي نيست.

III .محاسبه  تابع تبديل به كمك فضاي حالت:

 روش متغير حالت يك روش  بسيار كارآمد براي توصيف رفتار ديناميك  يك سيستم يا شبكه روش متغير حالت است KUH وRohrer [8] كارهايي روي آن براي تحليل شبكه انجام داده اند و نتايج را اعلام كرده اند . فضاي حالت برروي سيستم  غير خطي متغير با زمان مانند سيستم جايي كه روشهاي كلاسيك  از توصيف  آن عاجز بودند گسترش يافته است.

به طوري كه كيفيت رفتارسيستم،پسيويته، با زمان خطي ، پايداري و ... به راحتي با مشخصات متغير حالت قابل بيان است. از مزاياي ديگر اين روش،سيستم با معادله ديفرانسيل مرتبه اول توصيف مي شود و برروي برنامه نويسي بر روي كامپيوتر هاي ديجيتال مناسب است .

A تعريف ها.

حالت يك سيستم بايد اطلاعات كاملي از ديناميك سيستم به ما بدهد يك انتخاب مناسب برروي متغيرهاي حالت آن است كه مجموعه اي معادلات ديفرانسيل  خطي مرتبه اول كه از هم مستقل هستند را انتخاب  كنيم.

[9] .

عمومي شكل كه براي معادلات خطي lti بيان مي شود

X : متغيرهاي حالت

 : مشتق زماني متغيرهاي حالت

U : بردار ورودي

Y بردار خروجي

(A,B.C,D) :ماتريس هاي ثابت هستند

B: انتخاب متغير حالت

براي يك سيستم كه مورد آناليز قرار مي گيرد انتخاب متغيرهاي حالت يكتا نيست . انتخاب تصادفي متغيرهاي حالت ممكن است پيچيدگي را افزايش دهد. براي اجتناب ازاين حالت ها ، راهنمايي هايي براي انتخاب متغير حالت وجود دارد .

متغيرهاي حالت معمولاً با كمك المان هاي ذخيره كننده انرژي تعيين مي شوند در واقع ما به تعداد المان هاي مستقل در يك شبكه متغير حالت كمتري داريم به طور مثال در شكل (1) تعداد متغيرهاي حالت كمتر از عناصر ذخيره كننده انرژي است [10]. بر پايه  اين مدل جريان هاي اندوكتانس ها و ولتاژ خازن ها را به عنوان متغيرهاي حالت مطلوب در نظر مي گيريم . به عنوان مثال در يك سيستم به كمك گراف ، گره ها را مشخص مي كنيم  درختي كه از عناصر  ذخيره كننده تشكيل ميدهد  و از همه گره‌ها مي‌گذرد را مي‌توان به عنوان متغير حالت در نظر گرفت

براي مدل مدارنشان داده شده درشكل (1) متغيرهاي حالت را بدين صورت انتخاب مي كنيم .

1)           جريان  القاگرهاي سيم پيچ اوليه

X₁=i₁ , X₂=i₂ ,     Xn₁= in₁

2)           جريان القاگرهاي سيم پيچ ثانويه

Xn+1= , …. , X_n1+n2= _n2

3)           ولتاژ هاي گره سيم پيچي اوليه

Xn1+n2+1=e2

Xn1+n2+1=e3, … , X2n1+n2-1=en1

4)           ولتاژ هاي گره سيم پيچي ثانويه

X_2n1+n2=2

 _X2n1+n2+1=

.X2n1+2n2-2=n2

بنابراين تعداد متغيرهاي حالت كل=2_n1_2_n2-2  را بدست مي آيد.

C : فرمول بندي مدل حالت

معادلات حالت كه در اينجا فرمول بندي مي شود بروي يك ترانسفور ماتور دو سيم  پيچي شكل (1) است كه در ثانويه آن مدار كوتاه است. وقتي ترمينال سيم پيچي دومي حالتي ديگر است به طور مشابه فرمول بندي ميشود

1)           مشتق هاي زماني جريان هاي القايي :

V₁ تا V_n1 و V_n1 تا نمايش دهنده ولتاژ القاگرهاي طرف اوليه و ثانويه باشند همين طور ‌‌‌‍[L] نمايش دهند ماتريس  اندوكتانسهاي سلف‌ها و اندوكتانس هاي متقابل مدار مي باشند. رابطه بين مشتق جريان اندوكتانس با ولتاژ دو سر آن از رابطه (4) بدست مي آيد.

به طوري كه با توجه به اينكه سيم پيچي طرف دوم اتصال كوتاه است داريم: 

(R) را ماتريس قطري با رابطه زير است

اگر را اينطور تعريف كنيم

با استفاده از (6) و (7) و ولتاژ گره ها و به كمك (5) بدين صورت ساده مي شود.

اگر بر ماتريس هاي متشق زماني جريان‌هاي القاگر و ولتاژ گره‌ها ولتاژهاي ورودي دلالت كنند و به اين شكل توصيف كنيم به طوري كه

رابطه (8) تبديل مي شود به

بنابراين مشتق زماني جريان القاگرها به جريان القاگر و ولتاژ گره ها و ولتاژ ورودي وابسته مي شود.

به كمك قانون KCL براي مدار شكل (1) داريم

كه ‍ماتريس كپسيتانس گره اي مدار مي باشد. معادلات بالا را مي توان به صورت زير نوشت.

جايي كه ‍]T] يك ماتريس (n1+n2)x(n1+n2) است و به صورت زير توصيف مي شود.

جايي كه [1T] ماتريس با بعد n1*n1 است و به صورت زير توصيف مي شود.

[2T] همان شكل [1T] را خواهد داشت با اين تفاوت كه n2*n2 است. با توجه به اين كه مدار دومي اتصال كوتاه است. رابطه (14) تبديل خواهد شد:

كه ‍]k1] در واقع (n1+1) ستون [K] است.

نظر به اينكه انتهاي گره هاي خطوط سيم پيچي اوليه و ثانويه به پتانسيل e1 (ولتاژ ورودي) و طرف ديگر آن o است كاربرد KCL براي اين گره‌ها معادلات اضافه را نتيجه مي دهد.

براي اجتناب از اين اضافه ها رابطه (17) را به اين صورت اصلاح مي كنيم .

با جدا سازي مشتقات متغيرهاي حالت و ولتاژ ورودي رابطه بالا به صورت زير اصلاح مي شود.

جايي كه ‍‌[Ta] و  مطابق اولين و امين سطر  و  است.

به طوري كه  و از معادله استتناج مي شود به طوري كه

اگر  وماتريس هايي باشند كه مشتق زماني ولتاژ گره ها را به جريان هاي القاگر و مشتق زماني ولتاژ ورودي مربوط مي سازند آنگاه داريم

(جمله 19) به صورت زير در مي آيد بنابراين مشتق زماني وولتاژ گره ها به صورت جريان القاگر و مشتق زماني ولتاژ وروي توصيف مي شود

3) معادله حالت : برروي مدل مدار معادله حالت با تركيب رابطه (12) و(24) به صورت زير فرمول بندي مي شود.

 x و  بردار متغير حالت و مشتق مرتبه اول  آن است و u نيز بردار ورودي را توصيف مي كند به طوري كه

و ماتريس [A] و[B] به اين صورت تعريف مي شوند به طور كلي معادلات حالت مشتق زماني مرتبه اول متغيرهاي حالت را به متغيرهاي حالت ومحرك آن مربوط مي سازد و به طوريكه شامل هيچ كات ست از القاگرها و درختي  از خازن ها نيست [11].

(4) معادله خروجي : جريان خنثي سيم پيچ اوليه را به عنوان متغير خروجيy مدل حالت  انتخاب شده است با متغير حالت x و ورودي u رادر نظر بگيريم.

با توجه به شكل (1)جريان خنثي i مجموع جريان هاي القا گرها خازن ها سري از 1n بخش سيم پيچي اوليه است كه به صورت زير است.

با توجه به به تعريف متغيرهاي حالت و رابطه (25) معادله بالا به صورت زير نوشته مي شود

جايي كه   و عبارت از امين سطر و

از تركيب دو معادله در يكي داريم

رابطه 31 بدين صورت اصلاح مي شود

معادلات (25)و(31) باهم تركيب شده و مدل حالت شبكه را بدست مي آيد

IV. تعيين قطب و صفر

براي يافتن يك توصيف  تحليلي براي تابع تبديل معادلات حالت در حوزه زمان بايد به حوزه S برده شود با استفاده از تابع لاپلاس روابط (25) و (31) به صورت زير در مي آيد.

كه I يك تابع هماني با بعد A است . همين طور

 اگر TF را به صورت نسبت خروجي Y به ولتاژ E(s) تعريف مي كنيم

با استفاده از رابطه بالاترسيم TF بر روي مقادير عددي S در گستره وسيعي از فركانس امكان پذير است.

A.رياضيات پيچيده در محاسبه TF

همانطور كه قبلا گفته شد شكل به طور كلي اطلاعات كاملي از همه صفر و قطب به ما نمي دهد.

براي محاسبه TF در رابطه(34) نيازمند آن هستيم كه ماتريس را محاسبه كنيم يافتن معكوس اين ماتريس بسيار وقتگير و زمانبر است حتي اگر  كوچك باشد يافتن ماتريس معكوس بسيار آسانتر مي گردد وقتي ماتريس قطري باشد براي اين منظور ماتريس سيستم را به مدل حالت ديگر انتقال مي دهيم.

B.قطري سازي ماتريس سيستم :

 قطري كردن ، ماتريس سيتم با كمك تابع تبديل خطي را مي توان بدست آورد كه يك تكينيك شناخته شده است.

با كمك اين تابع تبديل مي توان ، ماتريس سيستم را قطري مي كرد اگر  مقادير ويژه ماتريس سيستم باشد و ماتريس مودال باشد با استفاده از رابطه روابط( 25 )و (31 )به صورت زير تبديل مي شود

به طوري كه

با اين فرض كه ماتريس  يك ماتريس قطري است كه عناصرش همان مقادير ويژه   ماتريس A است .

حال TF جديد را داريم

از آنجاييكه ماتريس معكوس  يك ماتريس قطري است محاسبه مربوط به آن بسيار ساده تر مي گردد و مزيت اين سيتم در شبكه هاي بزرگ بهتر به چشم مي آيد.

C.روش جبري ساختن TF

روش ساختن TF بوسيله استخراج ازعامل مشترك صورت و مخرج چند جمله اي در اينجا توصيف مي گردد با كمك اين روش به راحتي مي توان صفر و قطب را بدست آورد.

اگر ماتريس هاي  را به صورت زير تعريف مي كنيم

بنابراين ماتريس معكوس مشخصه تبديل مي شود به

اگر

باشد و به صورت زير ساده سازي گردد داريم

كه

به طوري كه  و و توصيف مي شود به صورت زير

معادله( 37) صورت زير در مي آيد

با ساده سازي داريم.

به طوري كه P وQ صورت و مخرج چند جمله اي TF را نشان مي دهد .

تعيين قطبها :

قطبهاي TF ريشه هاي چند جمله اي Q(s) هستند و با توجه به آن 48 و 49 نتيجه مي دهد .

بنابراين قطبهاي TF همان مقادير ويژه هستند كه در ماتريسA  بودند

تعيين صفرها

صفرهاي TF ريشه هاي چند جمله اي P(s) هستند از رابطه( 48) داريم .

عامل مشترك چند جمله اي (s) P  با دستكاري جبري روي عامل مشترك چند جمله اي  را مي توان بدست آورد كه در ادامه توضيح داده مي شود.

با توجه به رابطه (46)(S) باحاصلضربv فاكتورهركدام  به  فرم (توصيف مي شوند.

بدست آوردن عامل مشترك چند جمله اي(S)  با داشتن  زماني كه آنها ريشه هايش هستند كار بسيارساده اي است

به طور كلي (S)  چند جمله اي به صورت  بيان مي شود.

به طور مشابه عامل مشترك چند جمله اي هاي را از رابطه (44) و(45) قابل استخراج است.

با اين تفاوت كه عامل مشترك چند جمله اي  را با عملگرد  نمايش مي دهيم بنابراين عامل مشترك چند جمله اي هاي استخراج شده را مي توان به صورت زير نمايش داد.

عوامل مشترك P(s) به راحتي از رابطه (51) ساخته مي شود مجموع عوامل مشترك با توان مشابه (s) چند جمله اي ها در P(s) عوامل مشترك P(s) را نتيجه مي دهند.

پس عامل را باضرب  در S به صورت     در مي آوريم.

V . نتايج وبحثها

اين روش در Matlab پياده شده است در جدول1 زمان لازم (با توجه به مشخصاتcpu   كه )براي تعيين قطب و صفر TF بروي مدار شكل 1 با تعداد سيم پيچي هاي متفاوت آمده است.

1)همان طور كه در جدول 1 آمده است روش تحليلي فضاي حالت بسيار كارآمد است حتي در سيستم هاي بسيار بزرگ جواب را در مدت زمان معقولي بدست مي آيد جواب يك سيستم با 250 سيم پيچي كه صرفاً آكادميك است در مدت 709 ثانيه محاسبه مي شود.

2) نمونه نتايج (شكل TF و مكان قطب و صفر) در شكل 2 و 3 نمايش داده شده است كه سيم بندي ثانويه مدار كوتاه شده است هر دو نقطه خنثي زمين شده است. شكل 2 شكل TF  كه محور افقي آن فركانس است را نمايش مي دهد.

شكل3 مكان صفر و قطب TF به طور دقيق نمايش مي دهد حتي صفر و قطب نزديك هم و حذف صفر و قطب كاملاً مشخص است در حالي كه فقط با رسم  TF نمي توانيم اين پديده را مشاهده كنيم .ان صفرهايي كه نزديك محور صفر قطب ها هستند تاثير روي شكل و نتيجه TF دارند. از آنجائيكه در رسم TF توجه خيلي زيادي به صفرها نمي شود سودمندي  تعيين صفر و قطب بيش از پيش نمايان مي گردد

3)گر چه ممكن است كپستبانس سري با توجه به نوع سيم بندي ديسكي ،دولايه اي ) مقادير مختلفي را اختيار كند بازهم مشكلي پيش نمي آيد (عليرغم حذف صفر و قطب) مقاوم بودن اين روش را نشان مي دهد.

4) تعيين توزيع ولتاژ  در گره هاي مختلف بدون تلاش زيادي ممكن شده است

 IV نتيجه گيري

در اين مقاله يك متد بر مبناي فضاي حالت براي محاسبه  صفرها و قطب هاي تابع تبديل يك مدار معادل ترانسفور ماتور بيان شده است باكمك اين متد مي توان براي حالات مختلف ترانسفور ماتور، مانند سيم پيچي ها با تعداد مختلف و شرايط و تريتال ها و... مكان دقيق قطب و صفر را در زمان مناسب و محاسبات سرراست بدست مي آورد.