تحقیق درباره

رياضيات (2) فصل سوم- بخش پنجم

1 – ماتريسهاي تبديل

1 – هر ماتريس مربعي مرتبه 2 مي تواند در مختصات يك نقطه ضرب شده و تغييراتي را در آن ايجاد كند به همين دليل به آن ماتريس تبديل يا ماتريس انتقال مي گويند زيرا با تغييرات مختصات نقطه، جاي نقطه در صفحه انتقال پيدا مي كند.

بعضي از ماتريسهاي انتقال به صورت زير بدست مي آيد:

الف: ماتريس تبديل و قرينه نسبت به محور x ها:

:

ب: ماتريس تبديل و قرينه نسبت به محور yها:

ج: ماتريس قرينه نسبت به مبدأ مختصات:

د: ماتريس تبديل نسبت به نيمساز اول و سوم:

هـ : ماتريس تبديل نسبت به نيمساز دوم و چهارم:

تمرين (1): قرينه نقطة (5- و 3)A و (0 و 4-)B را به هر يك از ماتريسهاي تبدل بالا بدست آوريد.

براي نقطه B به طور مشابه عمل كنيد.

تمرين 2: ماتريس انتقال زير را بنويسيد.

:حل

 = ماتريس تبديل                  

تمر ين 3:

با تشكيل دستگاه نسبت به b,a و سپس نسبت به d,c مارتريس تبديل را پيدا كنيد.

2 – دترمينال:

براي ماتريس مربعي مرتبه 2 عبارت زير رير برابر است با دترمينان ماتريس:

قطر اصلي = ad

قطر فرعي =  bc

تمرين: براي هر يك از ماتريسهاي زير دترمينان پيدا كنيد.

           (الف

            (ب

              (ج

نكته: به ماتريسهايي كه دترمينان آنها صفر مي شود دقت كنيد.

3 – مي توان دستگاههاي دو معادله و دو مجهولي را بوسيله ماتريس حل كرد.

ابتدا لازم است تعريف ماتريس معكوس گفته شود.

اگر A ماتريس مربعي مرتبه 2 باشد ^1-Aمعكوس A نام دارد و مثل معكوس عدد در ضرب اعداد عمل مي كند.

به اين دليل حل براي حل معادله به كار مي رود. دو معادله زير را مقايسه كنيد:

    يعني  

يعني براي بدست آوردن جواب يك معادله، طرف معلوم را در معكوس ضريب مجهول ضرب مي كنيم.

حل معادله ماتريسي داريم:

A..X=B

طرفين معادله را از چپ در ^1-A ضرب مي كنيم (دقت شود كه ضرب ماتريسها خاصيت جابجايي ندارد).

حال كافي است  را محاسبه كنيم.

به فرمول زير دقت كنيد.

نتيجه: براي پيدا كردن  ترتيب زير عمل كنيد.

الف: دترمينال A را محاسبه كنيد و  يك عدد خواهد بود.

ب: از روي ماتريس A، ماتريس به اين صورت بنويسيد كه: قطر اصلي آن جابجا شده و قطر فرعي قرينه شود.

تمرين: براي ماتريسهاي زير، معكوس پيدا كنيد.

     (الف

مشابه نمونه عمل كنيد.    (ب

4 – حال به مثال زير در مورد حل دستگاه به كمك ماتريس توجه كنيد:

پس بايد  را پيدا كنيم:

سوال: در مورد ماتريسهايي كه دترمينال آنها صفر است چه مي توانيد بگوييد؟

5 – بحث در مورد دستگاه:

نكته: بحث در حل هر مسئله يعني بررسي همه حالتهاي مختلف و پيدا كردن جوابها در هر حالت:

در سال اول ديده ايد كه حل دستگاه به روش رسم نمودار چگونه است؟ سه حالت پيش مي آيد.

  دو خط متقاطع اند  (الف

پس دستگاه يك جواب دارد و آن نقطه تقاطع دو خط است. دو خط كه متقاطع باشند پس هيچ رابطه خاصي بين شيب آنها وجود ندارد.

يعني با استفاده از ضرايب دستگاه مي توان تشخيص داد. كافي است نسبتهاي آنها را مقايسه كرد.

ب: دو خط موازيند پس شيب آنها مساوي است ولي دو خط متمايزند.

ج: دو خط بر هم منطبق اند. پس نه تنها شيب آنها مساوي است بلكه همه ضرايب آنها يكي است.

در اين حالت دستگاه بينهايت جواب دارد.

خلاصه بحث: در دستگاه مقابل حالتهاي زير را داريم:

دستگاه 1 جواب دارد   دو خط متقاطع اند.                      (الف

دستگاه جواب ندارد   دو خط موازي اند.           (ب

دستگاه بينهايت جواب دارد   دو خط منطبق اند.           (ج

تمرين: به ازاي مقادير مختلف n,m در وجود جوابهاي دستگاه مقابل بحث كنيد.

 (الف

 (ب

(ج

تمرين 

2 : مقدار m را چنان بيابيد كه دستگاه                  

الف: داراي يك جواب باشد.

ب: داراي جواب نباشد.       شرط عدم وجود جواب

لطفاً مثالهاي بيشتر حل كنيد.