تبديل

در واقع سيكنالها توسط تبديلي قابل آناليز و تحليل است كه بخوبي خواص حوزه فركان و زمان را به صورت توئما توصيف كند . لذا تبديلات ويولست و تبديلات حوزه زمان – فركانس در اين زمينه بسيار راه گشا ميباشد . تبديل ديوليت پيوسته تصوير سيگنال X با مجموعه اي از توابع با متوسط سنو است اين مجموعه شيفت زماني و فركانسي توابع پايه است .

a نماينده مقياس است چنانچه 1      باشد موجكها كشيده (باز ) ميشوند و چنانچه            باشد موجكها فشرده ميشوند . درواقع تبديل ديوليت نوعي تبديل زمان مقياس است تا زمان فركانس.

CWT و ميتواند نوعي تحليل بانك فيلتري كه از فيلترهاي ميان كرز با عرض بانه نسبتا ثابت تشكيل شده اند در نظر گرفت . خواص تبديل ويوليت

تبديل موجكها محاسبه كود رياني بين موجكها تغيير مقياس داده شده و شيفت شيفت يافته در زمان ميباشد .

مسئله مهم دراين جا اينست كه مقادير to و vo  به گونه اي انتخاب شوند كه حجم اطلاعات اضافي مينيمم شوند بدون آنكه هيچ گونه اطلاعاتي از دست بدهيم براي اين قطور بايد         to vo  باشد .

اينچنين اتمهايي ( hnto ,mvo  ) خانواده اي از توابع غير متعامد گسسته با نمونه برداري زياد كه ( Frame ) ناميده ميشود را تشكيل ميدهد .

چنانچه foxvo باشدصفحه زمان – فركانس توسط اتمها اتمها hnto,mvo به اندازه كافي پوشش داده نمي شوند . و بين اتمهاي كناري فاصله وجود خواهد داشت . چنانچه با انتخاب مناسب پنجره 1=to × vo شود اين خانواده اتمها يك مجموعه عمود را تشكيل ميدهد .

پراكندگي انرژي :

تاكنون تبديل زمان فركانس سيگنال و به خبر هاي پايه ( اتمهاي متمركز شده در زمان و فركانس ) تجربه نمود اين تبديل و نمايش تديل خطي سيگنال بود .

و ديگر به مسئله پاشيدگي و پراكندگي انرژي سيگنال در طول دو محور زمان و فركانس ميباشد .

سرفصل The spectrogram

مربع بخشي از STFT خيلي طيف انرژي سيگنال محلي پنجره شده ( t–u  ) × h  ( u  ) x و را Specfrogram  گويند .

اين پراكندگي مقدار حقيقي و غير منفي خواهد داشت .

چنانچه پنجره h تبديل STFT انرژي واحد داشته باشد . نمايش طيف Specfrogram  خاصيت پراكندگي انرژي كلي خواهد داشت . بنابراين Specfogram  معياري از محتواي انرژي سيگنال است كه در حوزه زمان فركانس د رنقطه (v و t  ) قرار دارد نمونه آن نسبت به تمركز localizatiom مستقل ميباشد .

خصوصيات نمودار انرژي

كوار يانس زمان فركانس : يك نتيجه مستقيم از تعريف Spectrogram  اينست كه شيفت زمان و فركانس و حفظ ميكند .

Spectrogram  يكي از عناصر توزيع ها يعمود زمان – فركانس ميباشد . كه سبب انتقال زمان و فركانس داراي خاصيت همبستگي است به اين خانواده از توزيع cohnenlo  گفته ميشود .

 تفكيك پذيري زمان فركانس

بنابراين تفكيك پذيري آن دقيقا مانند تبديل STFT مربع دامنه تبديل STFT ، مقدار Spectrogram ميباشد . لذا بين تفكيك پذيري در زمان و تفكيك پذيري در فركانس يك مصالحه وجود دارد . تفكيك پذيري پاپين بزرگترين ايراد اين نوع نمايش است .

براي بررسي اثر پنجره كوتاه hو پنجره بلند h  بر دقت زمان – فركانس به مثال زير توجه كنيد .

چنانچه نرخ رشد فركانس زياد نباشد پنجره با طول زياد بهتر است چرا كه ميتوان در طول پنجره فرض شبيه ايستان و در نظر گرفت بنابراين دقت زماني به اندازه دقت فركانسي اهميت ندارد و در اين مورد دقت فركانسي اهميت ندارد و در اين مورد دقت فركانسي دقت خوبي خواهيم داشت .

بررسي پراكندگي : در مقايسه با نمايش زمان فركانس خطي كه سيگنال را به مولفه هاي پايه ( اتم ها ) تجزيه ميكند مقايسه contrast

هدف از توزيع انرژي ، دريافت چگونگي پراكندگي انرژي ، سيگنال بر روي توزيع زمان و فركانس ميباشد .

واضح است : انرژي سيگنال از طريق انتگرال گيري اندازه سيگنال و يا تبديل فوريه آن به توان 2 حاصل ميشود . چگالي انرژي در زمان فركانس ميباشد . چگالي انرژي در حوزه زمان – فركانس ( v و t ) sx و به گونه زير تعريف ميشود كه حد واسط تعاريف 4.1 ميباشد . معناي خواصي كه چگالي انرژي ميبايستي داشته باشد به شرح زير است .

روابط بالا بيانگر اينست كه از انتگرال انرژي زمان – فركانس در طول يك تغيير چگالي انرژي متغيير ديگر بدست ميآيد .

خانواده كوهن

توزيع هاي مختلفي خواص ( 4.2 ) و ( 4.3 ) و ( 4.4  ) را دارند اما با افزون شرايط ديگر به SX ميتوان خواص دلخواهي را به اين تبديلها اضافه نمود .

يكي از خواص مهم اساسي كوواريانس ميباشد . خانواده كوهن انرژي دسته اي از كوهن توزيع هاي انرژي است كه عناصر با شيفتهاي زماني – فركانسي با يكديگر همبستگي دارند .

Spectrogram  كه در بحث قبلي مورد بررسي قرار گرفت يكي از اعضاي مجموعه كوهن ميباشد علاوه بر خاصيت quadratic بدون و انرژي و حفظ ميكند .

ربع دامنه سيگنال : مربوط به سيگنال تجزيه شده به عناصر پايه كه همان اتمها هستند امكان نمايش متعامد و از ما ميگيرد و بنابراين خصوصيت مهم و اساسي 4.3 و 4.4  برلاي اين تبديل برقرار نخواهد بود .

توزيع ونگير ويل :

توزيع انرژي مورد نظر در تبديل ونگير ويل .( WVD  ) به صورت زير است . اين تعريف : توزيع انرژي بسياري از خواص رياضي مورد نظر را در بر ميگيرد در حالت كلي تبديل وينگير ويل مقادير حقيقي بوده و قابل شيفت دادن در حوزه زمان و فركانس ميباشد .

در دو ويژگي قبلي مفهوم چگالي احتمال بيشتر است عبارت 4.5 تبديل فوريه شكل قابل قبول و صحيح از تابع ويژگي براي توزيع پراكندگي انرژي سيكژگنال است .

تبديل وينگر ويل كاملترين و مهترين از لحاظ تمكز در زمان و فركانس ميباشد .

خواص تبديل ويگفر ويل :

در اين بخش به بررسي نمونه هاي ميپردازيم كه تبديل توزيع انرژي آنرا در محدوده سيگنالهاي راداري قرار ميگيرد 1- سيگنال chirp  2- سيگنالي كه تحت تاثير پديده دامپر قرار گرفته است در مثال 2 بعد از محاسبه تبديل ويگور ويل مشاهده ميكنيم كه توزيع انرژي آن مطابق انتظار ما نخواهد بود اگر چه سيگنال به نحوي در حوزه زمان – فركانس متمركز شده است و ليكن بغير از توزيع اصلي مدضي هاي ديگري نيز در شكل ايده ميشود كه ميبايست صفر ميشدند . هدف اينست كه اطلاعات اضافي را بتوان از داده هاي اصلي حذف نمود .

در اينجا به بررسي خواص اصلي تبديل WVD  ميپردازيم .

1-     حفظ انرژي ( Energy conservution  )

انتگرال گيري از تبديل WVD  در دو محور زمان و انرژ يسيگنال ميسر است .

2-     خواص مرزي ( ناحيه اي ) Marginail properties چگالي طيف انرژي و توان لحظه اي از توزيع حاشيه اي WX  بدست ميآيد .

3-     كوواريانس انتقالي : توزيع WVD  كوواريانس زمان و فركانس است .

4-     كووتاريانس تغيير مقياس

5-     سازگاري با فيلتر شدن : چنانچه حاصل كانولوشن x  و h  باشد ( خروجي فيلتر h  براي ورودي x  ) . توزيع WVD  ، Y  كانوشي بين توزيع ويگز ويل ، HوX خواهد بود .

6-     Compatibitity with mvdulation  دوگان ويژگي بالا به صورت زير ميباشد چنانچه ورولاسيون X  توسط تابع M  باشد توزيع وينگر ويل Y كانولوشن فركانسي بين توزيع x و M  خواهد بود .

7-     چنانچه سيگنالي فقط در قسمتي از زمان و يا فركانس مقدار داشته باشد توزيع وينگر ويل آن نيز به همين صورت و تنها در همان بازه زماني و يا فركانسي مقدار خواهد داشت .

8-     Unitarity خاصيت يكتايي مبين وجود رابطه يك به يك بين حاصلضرب اسكالر توابع از حوزه زمان به حوزه زمان فركانس ميباشد .

9-     فركانس لحظه اي : فركانس لحظه اي سيگنال X  توسط اولين زمان توزيع ويگنر – ويل در فركانس و يا مرك زثقل آن استخراج ميشود .

10-گروههاي تاخير : دوگان خاصيت بالا ، گروهها ي تا ضد سيگنال X  است كه از اولين زمان توزيع وينگر – ويل در حوزه زمان بدست ميآيد .

11-تمركز كامل در مورد سيگنالهاي چيرپ خطي ( Linear chirp  )

تداخل : بنا بر دولويه خطي بودن تابع توزيع ويگز- ويل مربوط به سيگنال X، اصل جمع متعامد بصورت زير است .

( v و t  ) y  و wx  توزيع وينگز ويل متقابل بين X  و Y  ميباشد . اگر اين تابع به راحتي به N مولفه قابل تقسيم است وليكن براي راحتي و شفافيت بيشتر ما فقط مورد در مولفه اي آن را در نظر ميگيريم .

بر خلاف تداخلات Spectrogram ، تداخلات توزيع وينگر ويل با توجه به فاصله زمان – فركانس بين دو سيگنال صفر نخواهد بود . اين تداخلات مطلوب ما نيست چرا كه با هم پوشاني توزيع سيگنال واقعي و مطلوب تفسير تصوير توزيع وينگز ويل را مشكل ميسازد . و از سويي با وجود اين تداخلات خواص خوب و مهم توزيع وينگز ويل يعني خاصيت حاشيه اي فركانس لحظه اي گروهها ي تاخير تمركز و خاصيت يكتايي و … برقرار نخواهد بود درواقع يكنوع مصالحه مقدار اين تداخلات و خواص خوب توزيع وجود دارد .

تداخلات حيري : چگونگي توزيع تداخلات ويگز ويل بصورت خلاصه به شرح زير است .

دو نقطه در حوزه ( صفحه ) : زمان فركانس سبب توليد تداخل در نقطه سوم واقع در ميان جبري دو نقطه قبل مي شود . از اين گذشته اين تداخلات حول خطي كه دو نقطه تدتخل را بهم وصل ميكند با نوساني متناسب با فاصله اين دو نقطه بصورت متعدد نوسان ميكند . اين مساله در مثال روشن خواهد شد و و ازدو اتم در صفحه زمان فرض ميكنيم اين دو اتم توسط WVD توزيع وينگز ويل تحليل ميشود . فاصله نسبي اين اتمها از يك تحليل را به تحليل ديگر افزايش و يا كاهش مييابد . از طريق اين فايلها انقلاب و تغييرات تدريجي تداخلات نسبت به تغييرات فاصله بين تداخاتت قابل بررسي اسطت . خصوصاً‌ تغييرات جهت نوسان قابل توجه و دقت مي باشد .

شبيه توزيع ويگتريل :‌

تعريف مربوط به توزيع ويگنتر ويل منوط به داشتن اطلاعات د رمورد مقادير سيگنال مي باشد .

د رعمل داشتن اطلاعات سيگنال يك عملي مي باشد لذا براي اين توزيع د رعمل د ر رابطه 5/4 يك پنحره ا زسيگنال را به جاي كل سيگنال داشته كه منجر به توزيع استفاده زير مي شود .

تصاوير ¾  ساختار  تداخل  بين دو مولفه  با فواصل زماني  و فركانسي متفاوت را نمايش مي دهد . همانطور كه مي بينيد جهت نوسان و پريود نوسان تغيير مي كند . بدليل ماهيت نوساني شدن تداخلات د رتوزيع شبه ويگنر – ويل  كاهش مي  يابد . ( رقيق  مي شود  ) گر چه اين  تدبير منجر به بهبود تصوير توزيع ويگز – ويل  از حيث    تداخلات مي شود ولي بسياري از خواص توزيع ويگز – ويل برقرار نمي باشد .

ويژگيهايي از قبيل خواص مرزي د رتوزيع جديد خاصيت ابقاء ضرب اسكالر از حوزه زمان به حوزه فركانس با حفظ انرژي د رحوزه فركانس را ندارد از عرض فركانس مروبط به .

نمونه برداري توزيع ويگز ويل ( سيگنال آنالتيك )

بدليل ماهيت متصاعد توزيع ويگز – ويل  نمونه برداري بايد با دقت  فراوان صورت گيرد . توزيع ديگر ويل با رابطه زير نشان داده مي شود .

و بنابر اين توزيع ديگر ويل د رنقاط nte  د رزمان و به صورت پيوسته د رحوزه فركانس مقدار خواهد داشت و به صورت زير خواهد بود .

اين توزيع با پريود د رحوزه فركانس متناوب خواهد بود . با توجه به نرخ نايكوئيت براي نمونه د رمورد توزيع ويگز – ويل   گسسته  ممكن است ديانيگ رخ دهد . خصوصاً‌ زمانيكه سيگنال حقيقي بوده و با   نمونه برداري شده است . دو راه حل براي اين مساله وجود دارد . يك راه نمونه برداري اضافي ( بيشتر از نرخ نابكوسيت ) .

حداقل دو برابر نرخ نابكوسيت و ديگري استفاده از سيگنال آنالتيك مي باشد . در واقع با نصف شدن عرض با نه نسبت به سيگنال حقيقي اليازيگ د رحوزه فركانس مفيد سيگنال يعني در بازه [ 0 ,1.2 ]  اتفاق نمي افتد .

راه حل دوم اين است كه اگر حوزه طيف تقسيم بر 2 شود تعداد مولفه ها د رحوزه زمان – فركانس  به 2 تقسيم مي شود . تعداد ؟ معروف تداخل نيز بطرز قابل توجهي كاهش مي يابد. براي روشن شدن اين پديده توزيع قسمت حقيقي سيگنال تشكيبل شده از دو اتم را د رنظر مي گيريم . همانطو ركه مي بينيم  چهار سيگنال به جاي 2 تا ظاهر شده اند كه بدليل همان اليازينگ طيفي است  . بدليل مولفه هايي كه د رقسمت فركانسهاي منفي ؟ قرار دارد . تداخلات بيشتري ظاهر مي شود . اما چنانچه توزيع ويگز ويل همين سيگنال اما در شكل آنالتيك و مختلط بررسي كنيم . ايازينگ طيفي و تداخلات مربوط به مولفه هاي فركانسي مثبت و منفي حذف شده است . .

خانواده كوهن

مقدمه :‌ د رميان خواص مطلوب توزيع زمان – فركانس  انرژي دو خاصيت كوارياني زمان و فركانس از همه مهمتر است . د ر.اقع اين خاصيت متضمن اين واقعيت است كه چنانچه سيگنال د رحوزه زمان – فركانس شقيت پيدا كند توزيع ويگز – ويل اين سيگنال شقت يافته . توزيع زمان فركانس سيگنال اولين د رحوزه زمان و فركانس به همان اندازه خواهد بود . نشان داده شده است كه اين خانواده از توزيع هاي زمان فركانس انژي كه داراي خاصيت كوارياني زمان و فركانس مي باشد د رحالت كلي به صورت زير نمايش داده مي شوند .

در wvd  توزيع ويگز –ويل  دو  جمله داريم  كه د رسمت راست صفحه زمان – فركانس قرار گرفته اند  . از آن جا كه جملات تداخلات عمود بر محور زمان مي باشند .

چنانچه تداخلات همواره عمود بر محور زمان نوسان كنند . هموار كنندگي فركانسي كه توسط توزيع شبيه ويگز – ويل  انجام مي شود . دقت فركانسي را بدون از بين بردن سطح تداخلات كم مي كند . حالا ديگر دقت د رحوزه فر كانس داريم و نه جملات مربوط تداخل كاهش يافته است .

به بيان ديگر به توزيع شبكه ويگز –ويل هموار شده  كه هموار كننده  در  حوزه زمان ميباشد . سح تداخلات را به شدت كاهش مي دهد . در واقع دقت زماني از درجه اهميت كمي بر خوردار مي باشد . بنابراين براي سيگنالهايي كه دقت زماني اهميت خاصي ندارند استفاده از به توزيع ويگز ويل اشتباه بوده چرا كه دقت زماني رانيز از دست مي دهيم و استفاده از توزيع ويگز ويل هموار شده توصيه مي شود . يكي از خواص مطلوب و جالب توزيع ويگز ويل هموار شده عبور پيوسته از spectrogram  به توزيع ويگز ويل است حاصلضرب در عرض باند  با استقلال كامل و بدون هيچ تاثيري بر روي دقت زمان و فركانس از يك spectrogram  به صفر د رتوزيع ويگز ويل خواهد رسيد .

توزيع wvd    بهترين دقت د رزمان و فركانس و بالاترين سطح تداخل را دارد . spectrogram  بدترين دقت  اما هيچ تداخلي ندارد .

شبه توزيع ويگز ويل هموار شده بهترين مصالحه بين اين دو ايده مي باشد .

ارتباط با تابع ابهام عريض باند.

تعريف و خواص تابع ابهام پهن باند تابعي است كه مورد توجه بسيارخصوصاًدر زمينه پردازش سيگنالهاي را دارد . اين تابع ابهام پهن باند به صورت زير تعريف مي شود .

اين تابع متقارن تابع ابهام ساسمن معيارياز وابستگي زمان فركانسي سيگنال x مي  باشد  . بدين معنا كه اين تابع درجه شباهت  x  و انتقال يافته آن د رحوزه زمان فركانس را مي دهد .

برخلاف v . t  كه ماهيت زمان و فركانس بصورت مطلق دارند . t , y  ماهيت نسبي داشته و معروف به تاخير و راپلر مي باشند تابع ابهام پهن باند د رحالت كلي مقادير موهومي دارد و د ررابطه تقارن زوج هر صدق م يكند . يعني داريم يك رابطه مهم بين تابع ابهان پهن باند و توزيع ويگز ويل وجود دارد كه در واقع تابع ابهام تبديل فوريه دو بعدي توزيع ويگز ويل مي باشد .

هندسه تداخلات :‌در سيگنالهاي چند گانه المانهاي سازنده AF  كه مرب.ط به المانهاي سيگنال مي باشد و بيشتر د رحول و حوش صفر واقع مي باشند د رحاليكه المانهاي متناظر با تداخل بين المانهاي سيگنال در فاصله دورتري گه متناظر با فاصله زمان – فركانسي  المانهاي مروبطه متناسب مي باشد ظاهر مي شود .

قسمت عمده نمايش سيگنال توسط AF  د رمركز صفحه زمان فركانس قرار گرفته است و لذا با قرار دادن يك فيلتر پائين گذر 2 بعدي د رمركز تابع ابهام و برگشت به حفره توزيع ويگز ويل توسط تبديل فوره دو بعدي سطح تداخلات به شدت پائين مي آيد در واقع اگر توزيع ويگز ويل سيگنال دو مولفه ا يرا نمايش دهيم علاوه بر دو جمله د رصفحه زمان فركانس جمله يا جملات سومي داريم كه بين اين دو جمله نوسان مي كند ( تداخلات ) مي توان سطح تداخلات را پائين آورد .

 دراين فيلتر دو بعدي در بيان كلي دسته كوهن بصورت تابع پارامتر F  نمايش داده مي شود .

دسته كوهن : تابع ابهام به صورت زير نمايش داده داده مي شود .

نمايش ديگر چگالي انرژي زمان فركانس توزيع ارائه شده توسط مي باشد .

انرژي بين سيگنال X  كه محدود به بازه بسيار كوچك واقع د ر T خروجي همين سيگنال از فيلتر ميان گذر بسيا ركوچك واقع در به صورت زير نمايش داده مي شود .

يكي ديگر از زير مجموعه هاي خانواده كوهن توزيع مي باشد . د رابن توزيع د رنتيجه توليد چگالي انرژي علي توزيع شكل گرفت . اين توزيع مشتق چگالي طيف انرژي سيگنال قبل از لحظه T ميباشد .

نتيجه گيري :‌

دسته كوهن شامل توزيع هاي زمان – فركانس درجه 2 مي باشد كه قابل شفيت دادن د رزمان و فركانس مي باشد و ابزار قدرتمندي جهت تحليل سيگنالهاي غير استاين مي باشد . ايده اصلي پيشنهاد تابع اي مركب از زمان و فركانس بوده كه چگالي انرژي و يا شدت سيگنال د رزمان و فركانس به صورت لحظه اي نمايش دهد . مهم ترين عضو اين دسته توزيع ويگز ويل مي باشد كه داراي خواص مطلوب بسياري است از آن جا كه اين توزيع ها درجه 2 است جملات متقابل در صفحه زمان فركانس خوانايي و شناني نمايش مي دهد را كاهش مي دهد . يك راه براي شفاف كردن و خوانا كردن نمايش هموار كردن توزيع در زمان و فركانس بر اساس ساختارشان مي باشد . اما نتيجه اين عمل كاهش دقت زمان و فركانس و در حالت كلي از دست رفتن خواص تئوري توزيع انرژي توزيع ها مي شود فرمول كلي ارائه شده براي كوهن درك بهتري از راه حل وجود و ارتباط آن با تابع ابهام مي دهد .

 اما توزيع انرژي زمان – فركانس هاي ديگري نيز وجود دارند كه در دسته كوهن نمي باشند و قابل شفيت و انتقال د رزمان و فركانس نمي باشند .

از جمله دسته affine  كه د رفصل بعدي بررسي مي شود .