يک کاغذ را چند بار می توان تا کرد؟

اين مسئله را همه ما تجربه کرده ايم اما شايد هيچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده باشيم.
اگر ورق را هر بار طوری تا کنيد که اندازه آن نصف شود بيش از ۷ يا ۸ بار نمی توانيد آن را تا کنيد. مهم نيست ورق اوليه شما چقدر بزرگ باشد. شايد تا به حال اين قضيه را شنيده باشيد و سعی کرده باشيد که آن را امتحان کنيد و متوجه شده باشيد که تا کردن کاغذ بيش از۷ يا ۸ بار بسيار سخت است. آيا می توان گفت که اين اعداد يک محدوديت مستدل و عمومی برای تا کردن کاغذ هستند؟
فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده ايد که دارای پهنای w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از يک سمت بکنيد وقتی به جايی برسيد که ديگر نتوانيد کاغذ را تا کنيد يک نوار باريک خواهيد داشت.
با هر تا کردن ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. يعنی بعد از N بار تا کردن ضخامت ۲n خواهد بود و البته مشخص است که پهنا ۰.۵n می شود
اگر با کاغذی به پهنای ۱۱cm و ضخامت ۰.۰۰۲cm اين کار را انجام دهيد بعد از ۷ بار تا کردن نسبت t/w برابر ۱/۶ می شود. اين بدان معنيست که اندازه ضخامت از پهنا بيشتر می شود و در نتيجه ديگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهيد بود. اگر اين کاغذ را ۵۰ بار بزرگتر کنيد شايد بتوانيد آن را تا ۱۰ بار هم تا کنيد.
اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنيد ممکن است تعداد دفعات بيشتری بتوانيد به تا کردن کاغذ ادامه دهيد. در اين صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه يک بار نصف می شود.
چندين سال پيش هنگامی که بريتنی گاليوان در دبيرستان درس می خواند با اين مسئله رو به رو شد که چگونه کاغذی را ۱۲ بار تا کند . او بايد برای گرفتن نمره از يکی از کلاسهايش اين مسئله را حل می کرد. بعد از آزمايش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را ۱۲ بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.
گاليوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان يک کاغذ با اندازه معين را تا کرد کار کرد.

که در آن L کمترين درازای کاغذ، t ميزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L بايد يکسان باشد.
براي يک طول و ضخامت معين عبارت *******بيانگر آن است که صفحه بعد از n بار تا کردن چند برابر کوچک شده است. با n=۰ شروع می کنیم و به همين ترتيب به رشته ای از اعداد به اين صورت می رسيم:
۰, ۱, ۴, ۱۴, ۵۰, ۱۸۶, ۷۱۴, ۲۷۹۴, ۱۱۰۵۰, ۴۳۹۴۶, ۱۷۵۲۷۴, ۷۰۰۰۷۴, ۲۷۹۸۲۵۰, . . .
اين به اين معنی است که در تای دوازدهم ۲۷۹۸۲۵۰ برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.
گاليوان در کتابی با نام ((Historical Society of Pomona Valley)) چگونگی به دست آوردن اين معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضيح داده است. بالاخره در June ۲۰۰۲ گاليوان يک کاغذ بزرگ را ۱۲بار تا کرد.
راستی اگر از دید دیگری مسئله را نگاه کنیم باز هم جالب خواهد بود. منظورم این است که اگر تا کردن کاغذ را با ارتفاع بسنجیم بعد از ۱۰ بار تا کردن ضخامت کاغذ بدست آمده ۱۰۲۴ برابر حالت اولیه می شود و در مرحله ۱۱ ام۲۰۴۸ و در مرحله ۱۲ ام ۴۰۹۶
یعنی در مرحله دوازدهم باید ۴۰۹۶ برگ را تا کنیم که ضخامتی برابر با حدود ۵۰ سانتی متر که کار خیلی دشوار و تقریبا ناممکن است.