مقاله چند بعدي

حل مسايل مقدار اوليه- مرزي دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي مرتبه بالا غير خطي بوسيله شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخور.

چكيده

در اين مقاله روش جديد عمومي براي حل علمي مسايل مقدار اوليه- مرزي دستگاه معادلات جزئي بخصوص مراتب بالا و غيرخطي در يك ابرمكعب سيلندري ارائه مي شود. اين روش يك روش مش- فري بوده و جدايي بفرم بسته تحليلي توليد ميكند. تركيبي از مفاهيم شبكه هاي عصبي مصنوعي و ابزارهاي بهينه سازي چند بعدي در اين روش بكار ميرود. بوسيله مفاهيم تقريب توابع چندمتغير، وابسته به مباحث شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخوار و نيز بكمك هم محلي در نقاطي مشخص، حل مسئله مقدار اوليه- مرزي به مسئله بهينه سازي نامتغير يك تابع انرژي تبديل ميگردد. بعبارت دقيقتر يك جواب آزمون عصبي براي مسئله مقدار اوليه- مرزي متشكل از مجموع دو قسمت در نظر ميگريم: قسمت اول در شرايط اوليه- مرزي (زماني- فضايي) صدق ميكند، درحاليكه قسمت دوم شامل متغيرهاي لازم براي مينيمم سازي تابع خطاي مسئله ميباشد و بكمك يك شبكه عصبي سه لايه و پيشخور شبيه سازي گشته و براي صدق در دستگاه معادلات ديفرانسيل مسئله آموزش ميبيند. اين روش را ميتوان بعنوان تعميمي مناسب از روشهاي معيني در نظر گرفت. كاربرد اين روش جديد صرفنظر از نوع شرايط اوليه- مرزي در دامنه اي از يك معادله ديفرانسيل معمولي تا دستگاهي از معادلات ديفرانسيل جزئي متغير است.

كلمات كليدي:

دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي وابسته بزمان- مسايل مقدار اوليه- مرزي- شبكه هاي مصنوعي پيشخور- يادگيري نظارت بهينه سازي نامقيد چندبعدي.

1.مقدمه:

در علوم مهندسي اغلب سيستمهاي دنياي واقعي كه با معادلات ديفرانسيل توصيف شده اند، شامل چندين شرط اوليه يا مرزي وابسته به شرايط فيزيكي مسئله نيز ميباشند. مهمترين شاخص در مورد هر مسئله مقدار اوليه- مرزي براي يك دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي عبارتست از خوش‌خيمي آن يعني وجود و يكتايي جواب مسئله بسته بنوع معادلات و نيز نوع شرايط اوليه- مرزي قابل بحث است. مانند ساير مسايل روشهاي زيادي هر چند مشكل، براي حل غيرتحليلي چنين مسايلي وجود دارد از قبيل روشهاي جداسازي متغيرها، تبديلات انتگرالي، تغيير مختصات، تغيير متغيير وابسته، معادلات انتگرال و . . . ارزش اين روشها زماني مشخص تر ميشود كه براي مسايلي بكار بروند كه جواب تحليلي نداشته يا جواب تحليلي‌شان مستقيما قابل محاسبه نباشد. اين ارزش در صورت توانايي بكارگيري روش براي دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي (وابسته بزمان) از مراتب بالا و غيرخطي، دوچندان ميشود.

در رياضيات كاربردي عبارتند از همگرايي، پايدار علمي، سازگاري و خوشحالي عددي آنها. سه دسته مجزا براي اين روشهاي حل غيرتحليلي ميتوان در نظر گرفت: روشهاي تغييراتي، روشهاي بسطي و روشهاي علمي. در روشهاي تغييراتي معادلات ديفرانسيل مسئله را بهمراه شرايط اوليه- مرزي آن بيك مسئله مينيمم سازي تابعكي مناسب در يك فضاي تابعي تبديل كرده و با حل اين مسئله بهينه سازي جواب مسئله اصلي را بدست مياوريم. مهمترين مشكل چنين روشهايي تعريف مناسب تابعكهاي مورد نياز ميباشد.

در روشهاي بسطي (طيفي و شبه طيفي) مانند روشهاي هم محلي و گالركين يا روشهاي سري فوريه، سري وزنوله متناهي جواب تقريبي مسئله را بكمك يك دسته از توابع پايه اي (چندجمله ايهاي متعامد) در نظر گرفته و با تحويل مسئله اصلي بيك دستگاه معادلات (خطي) ضرايب مجهول سري مذكور را بدست مياوريم مهمترين مشكلات اين روشها نحوه انتخاب توابع پايه اي و چگونگي محاسبه ضرايب مجهول، ميباشد.

تا اينجا روشهاي مزبور همگي بدون مش ميباشند. در مقابل، روشهاي علمي طبق معمول بر پايه گستر سازي دامنه تعريف مسئله به تعداي المان، محلي بوسيله يك مجموعه از پيش تعيين شده و متناهي از نقاط گرهي بنام مش، استوار هستند و جواب را در اين مجموعه متناهي از نقاط بدست ميدهند.

مهمترين مشكلات چنين روشهايي عبارتست از اسلوب المان، خواص حل كنندة اصلي و محاسبات مربوط به توليد مش. از ميان روشهاي علمي براي حل مسايل مقدار اوليه- مرزي معادلات ديفرانسيل جزئي، مشهورترينشان روشهاي تفاضلات، المان محدود، حجم محدود و المان مرزي ميباشند.

اكثر كارهاي پيشين در حل مسايل مقدار اوليه امرزي معادلات ديفرانسيل جزئي در يك دامنة ابر مكعبي بكمك شبكه هاي عصبي پيشخور، به اصل جايگذاري تقريب تابع جواب كه بوسيلة خواص تقريب زنندگي شبكه هاي عصبي مصنوعي بدست آورده است، در معادلات (و شرايط اوليه امرزي) مسئله، استوار ميباشند.

از اولين موارد چنين كاربردي را ميتوان در يافت. كه در اولي معادله خطي پواسون با نرم خطاي چهار رقم اعشار و نيز معادله گرماي غيرخطي، حل شده است و دومي نيز شامل حل عددي دو مسئله مرتبه دو بيضوي تا شش رقم اعشار دقت ميباشد.

در سال 1998 لاگاريس و ديگران در با تعميم و تدقيق اصل مذكور در با روش بدون مش به حل مسايل غير خطي مرتبه دو با شرايط مرزي مخلوط (ديريكله و نويمان) تا دقت حدود هفت رقم اعشار در رژيمي علمي مبادرت ورزيده اند.

حاوي كاربردي از شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخور براي حل علمي نوع خاص از معادلات ديفرانسيل جزئي مرتبه اول است. معادله هاميلتون- ژاكوبس- بلمن كه مرتبه اول و غير خطيست در و با كمك يك شبكه عصبي مصنوعي سه لايه حل گرديده است و در نيز مسئله مرتبه دو يك بعدي (وابسته به زمان) جريان غيرثابت آبهاي زيرزميني، بكمك شبكه هاي عصبي و الگوريتمهاي ژنتيك حل شده است. در شاهد حل علمي شبكه گرماي كنترل شده با سه رقم اعشار دقت، بكمك شبكه هاي عصبي سه لايه و پيشخور هستيم.

در سال 2003 حسن علي و ديگران در بر مبناي كار مسئله معادله دوبعدي مربع را تا شش رقم اعشار و مسئله معادله نوسان طولي ميله اي با دو سه ثابت را تا پنج رقم اعشار دقت در يك رژيم عصبي حل كرده اند. و اخيراً در به حل علمي معادلات يك بعدي كوراموتو- سرواشينسكي (وابسته به زمان) و معادلات دو بعدي ناويه- استوكس، بوسيله شبكه هاي عصبي مصنوعي پرداخته شده است. و سرانجام، سابقاً با كاربرد روش جديد خود براي حل مسايل مقدار اوليه و مرزي دستگاه معادلات ديفرانسيل معمولي مراتب بالا و غيرخطي، به حل مسايل نمونه (تا مرتبه چهار) با دقت پنج رقم اعشار پرداخته ايم.

در اين مقاله، روش جديدي و كالا براي حل مسايل مقدار اوليه- مرزي دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي وابسته بزمان در كاملترين حالت و در دامنه اي ابرمكعبي سيلندري ارائه ميدهيم. روش ما در واقع تعميمي قوي و كارا از روشهاي طيفي مي باشد، بدين معنا كه جواب آزمون عصبي، شامل ضرايب كنترل كننده دقت در مخرج كسرهايي بعنوان توابع شبه پايدار ميباشد. ما با استفاده از روشهاي تقريب توابع بكمك شبكه هاي عصبي مصنوعي، نياز به گسسته سازي دامنه را برطرف ميكنيم، يعني روش ما مش- فري بوده و تنها از مجموعه نقاط دلخواهي براي هم محلي و آموزش شبكه عصبي استفاده ميكند. بعبارت ديگر، چنانچه خواهيم ديد، مسئله را از زاويه ديگري ميبينيم و در رژيم عصبي براي حل يك مسئله مقدار اوليه- مرزي دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي، شبكه عصبي چند لايه و پيشخور را بعنوان المان تقريب پايه اي (سرير متناهي از تركيب خطي توابع شبه پايه اي) در نظر گرفته و با توجه به خواص تقريب زدن توابع چند متغير، در اين نوع شبكه ها، جواب تقريبي (آزمون) مسئله را بصورت مجموع دو قسمت مينويسيم: قسمت اول، جواب آزمون را مجبور مي كند كه در شرايط مسئله صدق نمايد و قسمت دوم را كه شامل يك شبكه عصبي چند لايه و پيشخوار است، بكمك روشهاي بهينه سازي نامتغير چند متغيره براي صدق در دستگاه معادلات ديفرانسيل مسئله آموزش ميدهيم تا مقادير بهينه پارامترهاي شبكه براي مينيمم سازي يك تابع خطاي مناسب بدست آيد. اين مقادير بهينه پارامترهاي شبكه براي مينيمم سازي يك تابع خطاي مناسب بدست آيد. اين مقادير همان ضرايب تعيين كننده جواب تقريبي مسئله بصورت سري متناهي ‌اي از توابع شبه پايداري، ميباشند. از مهمترين مزاياي اين روش جديد عبارتست از: امكان كاربرد عالي روش براي حل دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي وابسته بزمان، عموميت اين روش در حل مسايل مراتب بالا و غيرخطي، تعيين جواب تقريبي مسايل بصورت فرم بسته تحليلي (همه جا از هر مرتبه مشتقپذير) كه براحتي قابل بكارگيري در كاربردهاي ديگر ميباشد، سروكار داشتن با تعداد پارمترهاي متنوع در مقايسه با ساير روشها، قابليت كاربرد روش براي  حل مسايل مقدار اوليه و مرزي معادلات ديفرانسيل معمولي، فراغت روش از هرگونهه محدوديتهاي رايج در روشهاي مرسوم مانند دستگاههاي خطي بدست آمده در روشهاي بسطي و يا لزوم برقراري رابطه اي خاص ميان طول گام در ابعاد مختلف، در روش تفاضلات متناهي و . . . )، قابليت پردازش موازي موجود در روشهاي شبكه هاي عصبي مصنوعي و امكان پياده سازي سخت افزاري روش در قالب تراشه هاي عصبي كه در مورد آخر نشاندهنده پياده سازي سلولهاي عصبي بمنظور حل علمي معادلات ديفرانسيل جزئي و نيز بيانگر نوعي پياده سازي پرس مبناي روشهاي موجود در بر روي يك دستگاه پنتيوم 3، 733 مگاهرتز براي حل علمي معادله پواسون ميباشد.

باقيمانده اين مقاله بصورت زير سازماندهي شده است: در بخش 2 مباني مختصري از معماري شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخور براي آشنايي بيشتر و بكارگيري در بخشهاي بعدي، ارائه ميگردد. در بخش 3 روش جديد پيشنهادي بطور كلي معرفي شده و ساير مباحث مرتبط با آن توصيف مي شود. بخش 4 شامل فرمولبندي دقيقتري از روش است، همچنين فرمولهاي لازم براي بخشهاي بعدي در اين بخش بدست ميايند. بخش 5 كاربردهايي از روش پيشنهادي براي برخي مسائل نمونه و نحوه بدست آوردن جواب آزمون و تابع خطا براي آنها را شامل ميشود. مثالهاي علمي بخش 6 با استفاده از مطالب بخش قبل ارائه ميگردند. مقادير خطاي جوابهاي تقريب بدست آمده براي اين مثالها نسبت به جوابهاي دقيق بصورت گرافيكي در نمودارهايي نشان داده خواهد شد. نهايتاً بخش 7 شامل نتايج و جهتگيريهايي براي تحقيق بيشتر بوده و مقاله را به پايان ميرساند.

2.مباني شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخور:

بحثهاي اوليه در مورد شبكه هاي عصبي مصنوعي در دهه 40 با معرفي شبكه هاي عصبي پيشخور آغاز شد. شبكه هاي عصبي مصنوعي تا حدودي از مغز و سيستم عصبي اسنان الگو برداري شده اند و نوعي از روشهاي مدل – فري براي پردازش داده، با مقدار حقيقي ميباشند كه قادرند برپايه سوابق اطلاعاتي درست از مسئله، جوابهاي قابل قبولي ارائه دهند.

مهمترين كاربردهاي انواع مختلف شبكه هاي عصبي عبارتند از: تشخيص گفتار، پردازش تصوير، سيستم كنترل، هوش مصنوعي، تشخيص چهره، جريان سيالات، سريهاي زماني، سيستمهاي ديناميكي و . . . .

مراجع متفاوتي شامل منابع نرم افزاري متنوع در مورد تئوري، رياضيات، مدلسازي، الگوريتم، طراحي، معماري و كاربردهاي شبكه هاي عصبي مصنوعي وجود دارد كه براي مطالعه بيشتر ميتوان بدانها مراجعه نمود.

شبكه هاي عصبي از واحدي محاسباتي بنام عصب تشكيل شده اند. هر عصب تعداي ورودي غددي دارد. درون عصب هر ورودي در ضريب عصبي متناظرش كه بنانگر ارزش آنست ضرب شده و مجموع همه اين مضارب با مقداري بنام اريب جمع ميشود. نهايتاً تابع تحريك روي اين مجموع اثر گذاشته و خروجي حقيقي عصب را بطور پيشخور تعيين ميكند.

معمولا در اكثر كاربردها حداقل شرايط براي شكل تابع تحريك در كليترين حالت عبارتست از اس- شكل (زيگموئيد) تعميم يافته بودن، يعني يكنو (غير تروپي) بودن تابع و اينكه حد تابع تحريك در مثبت و منفي بينهايت متنهاي باشد. دو نوع مناسب از چنين توابعي، تانژانست هيپربوليك و اوژستيك با ضابطه ميباشد كه ما در استفاده از مورد دوم قرار ميدهيم.

در چنين سازماني براي عصب منظور از يادگيري عبارتست از تعيين مقادير عددي بهينة ضرايب عصبي، بنحويكه با معلوم بودن وروديها، خروجي عصب قابل محاسبه باشد. اولين روش يادگيري براي مدل عصبي مذكور به قانون يادگيري عصب معروفست. كه چون براساس مينيمم سازي ميزان اختلاف بين مقادير محاسبه شده و مطلوب خروجي عصب كار ميكند، يادگيري با سرپرست ناميده ميشود. قدرت اصلي شبكه هاي عصبي، نشأت ميگيرد. ساده ترين توپولوژي شبكه هاي عصبي بصورت گروهي از عصبهاست كه در يك لايه سامان داده شده و يك يا چند ورودي مشترك دارند و شبكه تك لايه يا پرسپترون ناميده ميشوند. (ممكن است خروجي يك عصب وردي عصب يا عصبهاي ديگر بوده و شبكه بازگشتي باشد.)

معماري شبكه هاي عصبي چند لايه از چند شبكه تك لايه بصورت آبشاري بدنبال هم قرار گرفته اند و عصبهاي لايه هاي متوالي حداقل يك ورودي (خروجي) مشترك دارند، تشكيل ميشود. در شبكه هاي عصبي چند لايه و پيشخور كه در اين مقاله در نظر گرفته ميشوند، بازگشتي وجود نداشته و خروجيهاي عصبهاي هر لايه وروديهاي عصبهاي لايه بعدي را تشكي ميدهند. چنين شبكه اي از عصبها پرسپرترون چند لايه ناميده ميشود. در معماري پرسپترونهاي چند لايه، عصبهايي كه به وروديها متصلند لايه ورودي، عصبهايي كه به خروجيها متصلند لايه خروجي و ساير عصبها لايه هاي مياني (پنهان) را تشكيل ميدهند. بدين ترتيب چنين شبكه اي ميتواند يك نكاشت غيرخطي از وروديها به خروجيها برقرار كند. بعبارت ديگر شبكه‌هاي عصبي پيشخور بصورت يك جعبه سياه توانايي برقراري ارتباطي نامعين بين وروديها و خروجيهاي يك سيستم را دارا ميباشند و ايم امر مناسبست براي تحليل سيستمهايي كه با مسايل مقدار اوليه- مرزي توصيف شده اند كه جواب تحليلي نداشته يا جواب تحليلي شان بسادگي قابل محاسبه نيست.

مهمترين كاربرد پرسپترونهاي چند لايه كه باعث تحولي عظيم در تاريچه شبكه هاي عصبي مصنوعي شد، عبارتست از قابليت تقريب زدن توابع چند متغيره حقيقي آنهم بصورت سراسري و بفرم بسته تحليلي بعبارت ديگر چنين شبكه هايي شرط وجود تعداد كافي از عصبها، لايه ها و تعادلات بين اعصاب و وجود تابع تحريك زيگموئيد (تعميم يافته) در لايه هاي مياني، تقريب زننده هاي جهاني اند. يعني مي توانند براي تقريب زدن هر تابع اندازه پذير بوري تعريف شده روي يك ابرمكعب (هرقدر كه پيچيده باشد) با هر دقتي آموزش داده شوند. البته بايد توجه داشت كه طبق غيرخطي بودن حداقل شرط براي توابع تحريك لايه هاي مياني ميباشد.

همچنين بطوركلي تعداد لايه هاي مياني در معماري پرسپترون لازم نموده و تنها يك لايه پنهان كافيست و دقت تقريب وابسته به تعداد اعصاب در لايه مياني شبكه ميباشد، نه تعداد لايه هاي پنهان، البته بايد دانست كه بكارگيري تعداد لايه هاي مياني بيشتر ميتواند منجر به استفاده از تعداد كمتري عصب در كل شبكه شود. در مورد تعداد اعصاب در كل شبكه نيز قضيه وجودي كولموگروف وجود دارد كه نتيجه ميدهد ميتوان مقادير هر تابع پيوسته متغيير، تعريف شده يك ابرمكعب تنها توسط حاصلجمع هاي خطي و توابع غيرخطي پيوسته و اكيداً صعودي يك متغيره، محاسبه نمود. براساس اين قضيه يك پرسپترون سه لايه شامل عصب با استفاده از توابع غيرخطي پيوسته و اكيداً صعودي ميتواند هر تابع پيوسته متغيره را محاسبه نمايد. بايد توجه داشت. كه اين قضيه در مورد ضابطه توابع يك متغيرة مورد نياز مسكوتت. در مورد كران خطاي تحميلي كه با فيكس كردن ضابطه توابع تحريك، عارض ميشود نيز قضيه ساختاري ساي بنكو وجود دارد كه براساس آن ميتوان دقت تقريب تابع بوسيله شبكه عصبي را كنترل نمود. از لحاظ تاريخي قضيه صعودي انطباق كولموگروف بيان ميدارد كه به ازاي هر تابع پيوسته، توابع و ثوابت وجود دارند بقسميكه.

البته بايد توجه داشت كه ساختن توابع يك متغيره فوق ممكنست پيچيده و حتي غيرممكن باشد. اما قضيه ساختاري تقريب ساي بنكو مشخص ميسازد كه به ازاي هر تابع پيوسته و تابع تحريك فقط كرانوله و داده شده، عدد طبيعي و ثوابت حقيقي و و وجود دارند بقسميكه روي

در همين راستا بايد گفت كه شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخور در تقريب زدن تابعكها و عملگرها نيز بكار رفته اند، بنحويكه در حالت حدي با نامتناهي شدن تعداد اعصاب در شبكه تقريب نيز دقيق ميشود.

تنها نكته اي كه در مورد شبكه هاي عصبي پيشخور باقي ميماند عبارتست از مسئله يادگيري اين شبكه ها. در بعضي حالات كلي فرآيند يادگيري پرسپترونهاي چند لايه يك مسئله بد حالت و زمانگير ميباشد كه البته براي اجتناب از اين مشكل، در هر مورد بايستي برخورد خاص آن مورد انجام شود.

بعنوان مثال افزايش اطلاعات ورودي شبكه و استفاده مناسب از روشهاي مينيمم سازي خطا غالباً ميتواند كارساز باشد.

3.توصيف كلي مسئله و روش:

براي توصيف روش جديد، مسئله مقدار اوليه- مرزي دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي وابسته بزمان زير را در نظر ميگيريم.

كه در آن توابع برداري چند متغيره بترتيب نشاندهندة دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي وابسته بزمان و شرايط اوليه و مرزي مسئله از مراتب دلخواه (در حالت كلي غيرخطي)، تا متغيير مستقل زمان، متغيير مستقل فضا، متغيير چند انديسه، عملكرد برداري ديفرانسيل جزئي مختلط مرتبه تابع برداري حقيقي متغيير و تحليلي روي دامنه ابر مكعبي سيلندري جوابيست كه مي بايست محاسبه شود. البته بايد دقت كرد كه در فوق مرتبه، نوع و ابعاد دستگاه معادلات مسئله و نيز مرتبه، نوع و تعداد شرايط اوليه و مرزي آن هيچگونه محدوديتي ندارد و خوش خيمي مسئله از لحاظ تحليلي در حالات مختلف قابل بحث و بررسي است[1] .

طبق مطلب بخش قبل دريك درايم عصبي جواب آزمون (تقريبي) عصبي شامل شبكه عصبي پيشخور و سه لايه شبكه عصبي و سه لايه داراي پارامترهاي قابل تنظيم ضرايب عصبي و اريبها در ساختار پرسپترون چند لايه براي جواب وجود دارد، بنحويكه با قضاوت مناسب درمورد مقادير پارامترهاي تنظيم، به اندازه كافي بجواب نزديك مي شود. ميزان اين نزديكي را مي توان به وسيله يك فرم مناسب مثلاً  توصيف نمود. بنابراين مسئله اصلي (1) به دسته مسايل مينيمم سازي نا مقيد و پيوسته باقيمانده ها زير تبديل خواهد شد.